关于N个小球放M个盒子解答
转载于：http://bbs.qzzn.com/read-htm-tid-10761201.html
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TMD,刚才论坛好像出问题了，半天都发不出去，烦。n个球放入m个箱子里，有多少种不同的放法（不一定是球和箱子，也可能是其他的元素与其他的放置位置,例如N个人分到M个单位，每班至少一人，里面已经暗中说明球不同，单位不同）
看似很简单的问题其实非常复杂，球是否相同，箱是否相同？是否允许有空盒
不难看出一共8类情况
1）球同，盒同，无空箱
2）球同，盒同，允许空箱
3）球同，盒不同，无空箱
4)球同，盒不同，允许空箱
5)球不同，盒相同，无空箱
6）球不同，盒相同，允许空箱
7)球不同，盒不同，无空箱
6）球不同，盒不同，允许空箱
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先来看3,4.这个就是最典型的公考中经常遇见的插板法（关于插板法的解释我懒的说了，自己搜，论坛百度都容易找的到）
只是需要注意是否允许空箱
3的公式是把n个球排成一排，（一种方法），它们中间有n-1个空。取m-1个小棍，放到空上，就把它们分成m部分，由于小棍不相邻，所以没有空箱子。它的方法数有
看似很简单的问题其实非常复杂，球是否相同，箱是否相同？是否允许有空盒
不难看出一共8类情况
1）球同，盒同，无空箱
2）球同，盒同，允许空箱
3）球同，盒不同，无空箱
4)球同，盒不同，允许空箱
5)球不同，盒相同，无空箱
6）球不同，盒相同，允许空箱
7)球不同，盒不同，无空箱
6）球不同，盒不同，允许空箱
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先来看3,4.这个就是最典型的公考中经常遇见的插板法（关于插板法的解释我懒的说了，自己搜，论坛百度都容易找的到）
只是需要注意是否允许空箱
3的公式是把n个球排成一排，（一种方法），它们中间有n-1个空。取m-1个小棍，放到空上，就把它们分成m部分，由于小棍不相邻，所以没有空箱子。它的方法数有
C(N-1,M-1),也就是球减1里面挑M-1个箱子做组合
4的公式在3的基础上升华出来的，为了避免空箱子，先在每一个箱子假装都放一个球，这样就有n+m个球，C（n+m-1,m-1)，多了M个元素而已
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关于1,2类情况，本来我想教大家一个特殊三角形的，但画起来比较麻烦，速度还不如穷举快，所以就略了，愿意学的我还是可以教他，不会真的还不如穷举来的快。个人建议还是用最常见的凑数法，而且公考中不会出现球和盒子数字比较大的情况。
法，例如7个相同球放入4个相同盒子，每盒至少一个（1号情况），则先4个盒子每个放1个，多余3个。只需要考虑这3个球的去处就OK,由于盒子相同，所以只需要凑数就OK,不必考虑位置。
比如300，211，111只有三种
例如7个相同球放入4个相同盒子，可以空盒，则还是凑数，大的化小的，小的化更小的。。。。。。
0，0，0，7
0，0，1，6
0，0，2，5
0，0，3，4
0，1，1，5
0，1，2，4
0，1，3，3
0，2，2，3
1，1，1，4
1，1，2，3
1，2，2，2
11种
1，2，3，4公考常见类型，必须学会！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
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1234都是球相同的情况。但如果球不同怎么办？？？
先来分析最特殊的8号：N球不同，M箱不同，允许空。每个球都有M种选择，N个球就有M的N次方分法。
关于5，6，7这情况，我先教大家一个非常特殊的三角形，这个你在狗哥百度非常难以找的到的，秘传型，一般人我不会告诉他的。我画了个图，如果看不到的话直接看这个地址
http://tu.1pian.com/upload/1245501262x1996894379.jpg
看起来很复杂，其实很简单
第一左右两边都是1，第几行就有几个数，比如第5行就是1XXX1
第2 S（n,k)=S(n-1,k-1)+k*S(n-1,k)，含义是第N排的第K个数等于他上一排的上一个位置数字加上一排的同样位置数字的K倍
例如S（7，3）就是第7排第3个数字，所以他等于上排第6排第2个数字+第6排第3个位置*3
所以画图的话，明显第1排是1，第2排1，1，推理第3排（左右两边都是1，只有中间那个数字没确定）
所以S(3,2)=第2排第1个数字+第2排第2个数字两倍=1+1*2=3，所以第3排数字就是1,3,1.同理S(4,2)=S(3,1)+2*S(3,2)=1+2*3=7,
S(4,3)=S(3,2)+3*S(3,3)=3+3*1=6......如此类推三角形
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当遇见类型5即：N不同球，M同箱子，无空箱。一共有S(N,M)种分法，比如7个不同球，4个相同箱子，每个箱子至少一个，则看三角形的第7行，第4个数字多少。
而类型6，N不同球，M同箱，允许空的时候（在类型5的基础上允许空箱）。明显是N个球不变，一个空箱子都没有+有一个空箱子+有两个空箱子+有三个空箱子+，，，，，，都装在一个箱子。说的简单点一共有就是
S(N,1)+S(N,2)+S(N,3)+..........S(N,M)=也就是说第N排开始第1个数字一直加到第M个数字就是总的分法
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而类型7同样是在类型5的基础上升华，因为5是箱同的，而7箱不同，所以箱子自身多了P(M,M)=M!倍可能
所以类型7的公式就是M!乘以S(N,M)
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综上所述,所有8种类型都有一定的解法了
大家可以到云淡的帖子http://bbs.qzzn.com/read-htm-tid-9919765.html，练习一下，看看他的其中，5，6，7类型种情况是不是比我的办法慢很多。
例如8个不同的球放进3个相同的盒子里，有几种方法
球不同，箱同，可以空，则就是S(N,1)+S(N,2)+S(N,3)+..........S(N,M)
看三角形就知道第8行前3个数字的和1 127 966=1094，
8个不同的球放进3个相同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法
球不同箱同，非空，公式S(N,M)即第8行第3个966
8个不同的球放进3个不同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法
球不同，盒不同，非空，公式M!*S(N,M)=3!*S(8,3)=6*966=5796
4的公式在3的基础上升华出来的，为了避免空箱子，先在每一个箱子假装都放一个球，这样就有n+m个球，C（n+m-1,m-1)，多了M个元素而已
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关于1,2类情况，本来我想教大家一个特殊三角形的，但画起来比较麻烦，速度还不如穷举快，所以就略了，愿意学的我还是可以教他，不会真的还不如穷举来的快。个人建议还是用最常见的凑数法，而且公考中不会出现球和盒子数字比较大的情况。
法，例如7个相同球放入4个相同盒子，每盒至少一个（1号情况），则先4个盒子每个放1个，多余3个。只需要考虑这3个球的去处就OK,由于盒子相同，所以只需要凑数就OK,不必考虑位置。
比如300，211，111只有三种
例如7个相同球放入4个相同盒子，可以空盒，则还是凑数，大的化小的，小的化更小的。。。。。。
0，0，0，7
0，0，1，6
0，0，2，5
0，0，3，4
0，1，1，5
0，1，2，4
0，1，3，3
0，2，2，3
1，1，1，4
1，1，2，3
1，2，2，2
11种
1，2，3，4公考常见类型，必须学会！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
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1234都是球相同的情况。但如果球不同怎么办？？？
先来分析最特殊的8号：N球不同，M箱不同，允许空。每个球都有M种选择，N个球就有M的N次方分法。
关于5，6，7这情况，我先教大家一个非常特殊的三角形，这个你在狗哥百度非常难以找的到的，秘传型，一般人我不会告诉他的。我画了个图，如果看不到的话直接看这个地址
http://tu.1pian.com/upload/1245501262x1996894379.jpg
看起来很复杂，其实很简单
第一左右两边都是1，第几行就有几个数，比如第5行就是1XXX1
第2 S（n,k)=S(n-1,k-1)+k*S(n-1,k)，含义是第N排的第K个数等于他上一排的上一个位置数字加上一排的同样位置数字的K倍
例如S（7，3）就是第7排第3个数字，所以他等于上排第6排第2个数字+第6排第3个位置*3
所以画图的话，明显第1排是1，第2排1，1，推理第3排（左右两边都是1，只有中间那个数字没确定）
所以S(3,2)=第2排第1个数字+第2排第2个数字两倍=1+1*2=3，所以第3排数字就是1,3,1.同理S(4,2)=S(3,1)+2*S(3,2)=1+2*3=7,
S(4,3)=S(3,2)+3*S(3,3)=3+3*1=6......如此类推三角形
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当遇见类型5即：N不同球，M同箱子，无空箱。一共有S(N,M)种分法，比如7个不同球，4个相同箱子，每个箱子至少一个，则看三角形的第7行，第4个数字多少。
而类型6，N不同球，M同箱，允许空的时候（在类型5的基础上允许空箱）。明显是N个球不变，一个空箱子都没有+有一个空箱子+有两个空箱子+有三个空箱子+，，，，，，都装在一个箱子。说的简单点一共有就是
S(N,1)+S(N,2)+S(N,3)+..........S(N,M)=也就是说第N排开始第1个数字一直加到第M个数字就是总的分法
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而类型7同样是在类型5的基础上升华，因为5是箱同的，而7箱不同，所以箱子自身多了P(M,M)=M!倍可能
所以类型7的公式就是M!乘以S(N,M)
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综上所述,所有8种类型都有一定的解法了
大家可以到云淡的帖子http://bbs.qzzn.com/read-htm-tid-9919765.html，练习一下，看看他的其中，5，6，7类型种情况是不是比我的办法慢很多。
例如8个不同的球放进3个相同的盒子里，有几种方法
球不同，箱同，可以空，则就是S(N,1)+S(N,2)+S(N,3)+..........S(N,M)
看三角形就知道第8行前3个数字的和1 127 966=1094，
8个不同的球放进3个相同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法
球不同箱同，非空，公式S(N,M)即第8行第3个966
8个不同的球放进3个不同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法
球不同，盒不同，非空，公式M!*S(N,M)=3!*S(8,3)=6*966=5796
