[PGM] Exact Inference for calculating marginal distribution
如何在贝叶斯网络中求解某变量的边缘分布？
这是一个问题。
贝叶斯网络如下：
CPTs如下：
(1) How to compute p( L | C = high )？
p( L | C = high )
= p(L, C=high) / p(C=high) // Bayesian Theorem.
= Joint dist / p(C=high) // 但是这里需要的却是joint dist!
求 Joint dist，便想到 变量消减，如下：
p( L, C)
= Σ ... Σ p(H) * p(L) * p(A) * p(V|H,L) * p(S|H,L) * p(C|V) * p(O|V,S) * p(B|O,T) * p(T|A) // 积分掉与L,C没任何关系的部分，加和=1
= ΣH ΣV p(H) * p(L) * p(V|H,L) * p(C|V) // 可见，结果只保留了与L,C有关的部分；因为H,V与L,C有牵扯，所以没法加和消减掉变量
= p(L) ΣV p(C|V) ΣH p(H) * p(V|H,L)
注意：消元的顺序不能胡来：
比如p(O|V,S)是可以最终消掉的，但O还作为了p(B|O,T)的条件部分，所以，
- 先消掉p(B|O,T) (如果B此时能消，也即是不在其他地方充当条件)
- 然后才能消O。
之后就是穷举V, H的过程。
先处理这一个部分：
ΣH p(H) * p(V|H,L) // 可见，除了H，剩余的两个变量(V,L)需要穷举所有离散情况，以便消减掉H
1. ΣH p(H) * p(V=low |H,L=true )
2. ΣH p(H) * p(V=high|H,L=true ) = 1 - ΣH p(H) * p(V=low|H,L=true ) // 求出1，即自动得出2
3. ΣH p(H) * p(V=low |H,L=false)
4. ΣH p(H) * p(V=high|H,L=false) = 1 - ΣH p(H) * p(V=low|H,L=false) // 求出3，即自动得出4
计算过程：
1. ΣH p(H) * p(V=low |H,L=true ) 等价于 p(V=low |L=true )
= p(H=true) * p(V=low|H=true,L=true) + p(H=false) * p(V=low |H=false,L=true) // 变为了可查表的形式
= 0.2 * 0.95 + 0.8 * 0.01
= 0.198
2. ΣH p(H) * p(V=high|H,L=true ) 等价于 p(V=high|L=true )
= 1 - ΣH p(H) * p(V=low|H,L=true )
= 1 - 0.198
= 0.802
3. ΣH p(H) * p(V=low |H,L=false) 等价于 p(V=low |L=false)
= p(H=true) * p(V=low|H=true,L=false) + p(H=false) * p(V=low |H=false,L=false) // 变为了可查表的形式
= 0.2 * 0.98 + 0.8 * 0.05
= 0.236
4. ΣH p(H) * p(V=high|H,L=false) 等价于 p(V=high|L=false)
= 1 - ΣH p(H) * p(V=low|H,L=false)
= 1 - 0.236
= 0.764
再处理剩下的部分：
p(L) * Σv p(C|V) * p(V|L) // 可见，除了V，剩余的两个变量(C,L)需要穷举所有离散情况，以便消减掉V
1. p(L=true ) * Σv p(C=high|V) * p(V|L=true )
2. p(L=false) * Σv p(C=high|V) * p(V|L=false) // 注意，Σv外有p(L)，故不能直接采用补集的方法计算
计算过程：
1. p(L=true ) * Σv p(C=high|V) * p(V|L=true ) 等价于 p(L=true, C=high)
= p(L=true ) * p(C=high|V=low ) * p(V=low |L=true) + p(L=true ) * p(C=high|V=high) * p(V=high|L=true )
= 0.05 * 0.01 * 0.198 + 0.05 * 0.7 * 0.802
= 0.028169
2. p(L=false) * Σv p(C=high|V) * p(V|L=false) 等价于 p(L=false, C=high)
= p(L=false) * p(C=high|V=low ) * p(V=low |L=false) + p(L=false) * p(C=high|V=high) * p(V=high|L=false)
= 0.95 * 0.01 * 0.236 + 0.95 * 0.7 * 0.764
= 0.510302
Result:
p( L | C = high )
= p(L, C=high) / { p(C=high) } // Bayesian Theorem.
= p(L, C=high) / { p(L=true, C=high) + p(L=false, C=high) }
= p(L, C=high) / { 0.028169 + 0.510302 }
可见，结果就是Bernoulli distribution with probability with theta = 0.028169/(0.028169 + 0.510302)=0.052312938
(2) Then, compute p( L | C = high ) using the Junction Tree Algorithm.
1. Moralisation
2. Triangulation
得到clique：{A, T}, {O,T,B}, {V, S,O}, {V, C}, {V, H, L, S}
3. Construction of the junction tree
4. Assignment of potentials
ψ(CV) = P(C|V) ψ(VSO) = P(O|V,S) ψ(VHLS) = P(V|H,L)P(S|H,L)P(H)P(L) ψ(OTB) = P(B|O,T) ψ(TA) = P(T|A)P(A)
Φ(V) = Φ(VS) = Φ(O) = Φ(T) = 1
根据以下算法更新evidence：
From left to right:
Φ(V) = 1
Φ*(V) = Σc ψ(CV) = Σc P(C|V) = P(C = high|V)
From right to left:
Φ(T) = 1
Φ*(T) = Σa ψ(TA) = Σa P(T|A)P(A) = P*(T)
ψ(OTB) = P(B|O,T)
ψ*(OTB) = ψ(OTB) x Φ*(T)/Φ(T) = ψ(OTB)
Φ(O) = 1
Φ*(O) = Σtb ψ(OTB) = Σtb P(B|O,T) = 1
ψ(VSO) = P(O|V,S)
ψ*(VSO) = ψ(VSO) x Φ*(O)/Φ(O) = ψ(VSO)
Φ(VS) = 1
Φ*(VS) = Σo ψ(VSO) = Σo P(O|V,S) = 1
更新 { V H L S }：
ψ*(VHLS)
= ψ(VHLS) x { Φ*(V) x Φ*(VS) } / { Φ(V) x Φ(VS) }
= P(V|H,L) * P(S|H,L) * P(H) * P(L) * { P(C = high|V) * 1 } / { 1 * 1 }
= P(V|H,L) * P(S|H,L) * P(H) * P(L) * P(C = high|V)
注意：我们当下已获得了置信传播的一个结果，就是 ψ*(VHLS)，消息从左右两边都传递到了这里。
接下来，我们会如何用这个结果呢？这个结果又能给我们带来怎样的好处呢？
以下用于下一步的类比参考。
（1）用置信传播结果表示边缘条件概率
（2）头上加了小弯弯表示是已知变量，就是条件部分的变量。
照猫画虎就是如下：
p(L|C=high)
= p(L,C=high) / p(C=high) // Bayesian Theorem.
注意这里，分子分母的计算与传统方法比较时开始发生变化的地方，要体会。
已知：ψ*(VHLS)
分子：ΣVHS ψ*(VHLS)
分母：ΣVHSL ψ*(VHLS)
分母：（Ｌ这种情况下消不掉）
P(V|H,L) * P(S|H,L) * P(H) * P(L) * P(C = high|V)
变为：ΣVHL｛ P(V|H,L) * P(H) * P(L) * P(C = high|V) ｝
分子：
P(V|H,L) * P(S|H,L) * P(H) * P(L) * P(C = high|V)
变为：ΣVH｛ P(V|H,L) * P(H) * P(L) * P(C = high|V) ｝
可见，还是变为了穷举V，H的结果，最终也得到了方案（1）相同的结论。
后记：
这个例子可能不太完美，建议自己做一次P(O|H=true, L=true, A=true)。过程当中尤其体会对变量A的处理。
因为A是条件中的变量，所以在方法一中不能消去，这导致了计算资源的浪费；
在方法二中，就没有这个问题。好运。
