[Algorithm] Maximum Flow

Ref MIT: lecture-13-incremental-improvement-max-flow-min-cut/

Ford Fulkerson algorithm for finding maximal flow in a flow network:

Keep adding flow through new augmenting paths for as long as it is possible;

When there are no more augmenting paths, you have achieved the largest possible flow in the network.

Ford Fulkerson最大流算法 (Depth-First)

　　　　-- Aleksandar Ignjatovic version.

左边是Residual flow network，一定要亲自画出来。

(a) 初始状态，通过DFS找一条路径作为augmented path; 可见瓶颈是4，然后得到右图。

【注意，为何这里augmented path的选择是如此方式，是否可以变为最短路径作为更好的选择呢】

(b) 同上。

(d) 正向的有权边越来越少；然后画出右图（update后的）的residual flow netowork如下。

(e) 这个residual flow netowork貌似已经没有了正向有权边。那么，就可以end了。(d)右就是最终结果，以上是最小割。

良心视频 + 个人补充：https://www.youtube.com/watch?v=Z8gcjuS0Vb8&t=393s

此处注意标号(s,8)表示上一个节点是s node，(s,8)允许通过的流量是8。

增广链的选择，从t node的标号倒推所得。

此时，最大流等于最小割。

Follow an arbitrary path until you reach the sink.

Not guaranteed to terminate.

举例演示其繁琐性：

最后一张右边的1->2 又变回了初始状态 value=1。

让我们抽出两张对比：

可见，中间的这条边value=1成了瓶颈。导致了i++类似缓慢的递归过程。

Time complexity

O(KE) K=Maximum Flow, E=Edge

Dependency on the flow

最大流最小割定理

　　Ref: http://www.cnblogs.com/TreeDream/p/5929429.html

　　Ref: https://wenku.baidu.com/view/d9c9b9220722192e4536f6e1.html （良心PPT）

割的净流：f = f(2,4)+f(4,3)+f(3,5) = 12+(-4)+11=19 　　//等于node1的output

割的容量：c(2,4)+c(3,5)=12+11=23

多一些例子如下：

可以计算出对于这两种情况净流f(S,T)仍然等于19。　　//等于node1的output

割的净流：f = f(2,4)+f(4,3)+f(5,4)+f(5,6) = 12+(-4)+7+4=19 　　//等于node1的output

割的容量：c(2,4)+c(5,4)+c(5,6)=12+7+4=23

割的净流：f = f(1,2)+f(3,2)+f(4,3)+f(5,4)+f(5,6) = 11+1+(-4)+7+4=19 　　//等于node1的output

割的容量：c(1,2)+c(3,2)+c(5,4)+c(5,6)=16+4+7+4=31 (一瞧就不是最小的割)

对于任意一个割的净流f(S,T)一定是小于等于割的容量C(S,T)。那也即是，对于网络的任意一个流f一定是小于等于任意一个割的容量C(S,T)。

而在所有可能的割中，存在一个容量最小的割，我们称其为最小割。(回流最小)

最大流最小割定理 (参考)

对于一个网络流图G=(V,E)，其中有源点s和汇点t，那么下面三个条件是等价的：
1. 流f是图G的最大流
2. 残留网络Gf不存在增广路
3. 对于G的某一个割(S,T)，此时f = C(S,T)

首先证明1 => 2：

我们利用反证法，假设流f是图G的最大流，但是残留网络中还存在有增广路p，其流量为fp。则我们有流f'=f+fp>f。这与f是最大流产生矛盾。

接着证明2 => 3：

假设残留网络Gf不存在增广路，所以在残留网络Gf中不存在路径从s到达t。
我们定义S集合为：当前残留网络中s能够到达的点。
同时定义T=V-S。//到达不了的点的集合T
此时(S,T)构成一个割(S,T)。且对于任意的u∈S,v∈T，有f(u,v)=c(u,v)。若f(u,v)<c(u,v)，则有Gf(u,v)>0，s可以到达v，与v属于T矛盾。
因此有f(S,T)=Σf(u,v)=Σc(u,v)=C(S,T)。

最后证明3 => 1：

由于f的上界为最小割，当f到达割的容量时，显然就已经到达最大值，因此f为最大流。

Edmonds-Karp求最大流算法 (Breadth-First)

核心思想就是不断找增广路，每找到一条增广路，记录增广路中边流量最少的值 d，

然后在当前找到增广路中

- 每一条正向弧减去d，
- 每一条反向弧加上d，

当不再找到增广路的时候，就证明当前的总流量已经是最大流；

至于怎样找增广路。。一致认为BFS是最好的方法了。

英伦良心Tutorial: Edmonds Karp Max Flow Algorithm Tutorial

1. 发现最短路径

Paths:

- S->1->2
- S->1->3
- S->3->4

并顺便记录了每个node的child node。

- S: 1, 3
- 1: 2, 3
- 3: 4
- 2: t
- 3: 4
- 4: 2, t

可见，最短路径只是根据BFS找，并没有什么特殊的。

2. 处理最短路径

加了反向边，每一条正向弧减去了15。

Total Flow += 15

3. 寻找最短路径（again）

可见，s->3这次也变为了0边。

Total Flow = 15+4, 第二次迭代结果是19.

4. 寻找最短路径（again）

2->t, s->3都变为了0边，那么最短路径的选择结果便有了改变。

Total Flow = 19+7, 第二次迭代结果是26.

Time complexity

All vertices in residual graph increase monotonically.

Total number of iterations is O(VE) V=Vertices, E=Edges

Each iteration O(E)

Therefore total runtime O(VE²)

Maximum matching in bipartite graphs

二分图最大匹配

二分图：简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交集 $U$

匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。例如，图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。

Bipartite Graph(1) Bipartite Graph(2) Matching Maximum Matching

我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边，它们的含义非常显然。例如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点，其他顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边，其他边为非匹配边。

最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。

完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。换一个说法：最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对儿？这就是最大匹配问题。

一、匈牙利算法

求解最大匹配问题的一个算法是匈牙利算法，下面讲的概念都为这个算法服务。

交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。

增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。例如，图 5 中的一条增广路如图 6 所示（图中的匹配点均用红色标出）：

增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数目比原来多了 1 条。

我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时，达到最大匹配（这是增广路定理）。

那么，如何在某一时刻/状态找增广路呢？

匈牙利树一般由 BFS 构造（类似于 BFS 树）。从一个未匹配点出发运行 BFS（唯一的限制是，必须走交替路），直到不能再扩展为止。例如，由图 7，可以得到如图 8 的一棵 BFS 树：

这棵树存在一个叶子节点为非匹配点（7 号），但是匈牙利树要求所有叶子节点均为匹配点，因此这不是一棵匈牙利树。

(因为node7，所以不是匈牙利树)

如果原图中根本不含 7 号节点，那么从 2 号节点出发就会得到一棵匈牙利树。这种情况如图 9 所示（顺便说一句，图 8 中根节点 2 到非匹配叶子节点 7 显然是一条增广路，沿这条增广路扩充后将得到一个完美匹配）。

匈牙利算法的要点如下

从左边第 1 个顶点开始，挑选未匹配点进行搜索，寻找增广路。
1. 如果经过一个未匹配点，说明寻找成功。更新路径信息，匹配边数 +1，停止搜索。
2. 如果一直没有找到增广路，则不再从这个点开始搜索。事实上，此时搜索后会形成一棵匈牙利树(Fig.9)。我们可以永久性地把它从图中删去，而不影响结果。
由于找到增广路之后需要沿着路径更新匹配，所以我们需要一个结构来记录路径上的点。DFS 版本通过函数调用隐式地使用一个栈，而 BFS 版本使用 prev 数组。