今天在网上看到一个大数相乘的问题，题目是这样的：输入两个整数，要求输出这两个数的乘积。输入的数字可能超过计算机内整形数据的存储范围。
分析：
由于数字无法用一个整形变量存储，很自然的想到用字符串来表示一串数字。然后按照乘法的运算规则，用一个乘数的每一位乘以另一个乘数，然后将所有中间结果按正确位置相加得到最终结果。可以分析得出如果乘数为A和B，A的位数为m，B的位数为n，则乘积结果为m+n-1位（最高位无进位）或m+n位（最高位有进位）。因此可以分配一个m+n的辅存来存储最终结果。为了节约空间，所有的中间结果直接在m+n的辅存上进行累加。最后为了更符合我们的乘法运算逻辑，可以讲数字逆序存储，这样数字的低位就在数组的低下标位置，进行累加时确定下标位置较容易些。
下面是我的解法。
首先是对数组逆序的函数：
1 void reverseOrder(char* str, int p, int q) 2 { 3 char temp; 4 while(p < q) 5 { 6 temp = str[p]; 7 str[p] = str[q]; 8 str[q] = temp; 9 p ++; 10 q --; 11 } 12 }
然后是完成大数相乘的函数：
1 char* multiLargeNum(char* A, char* B) 2 { 3 int m = strlen(A); 4 int n = strlen(B); 5 char* result = new char[m+n+1]; 6 memset(result, '0', m+n); 7 result[m+n] = '\0'; 8 reverseOrder(A, 0, m-1); 9 reverseOrder(B, 0, n-1); 10 11 int multiFlag; // 乘积进位 12 int addFlag; // 加法进位 13 for(int i=0; i <= n-1; i++) // B的每一位 14 { 15 multiFlag = 0; 16 addFlag = 0; 17 for(int j=0; j <= m-1; j++) // A的每一位 18 { 19 // '0' - 48 = 0 20 int temp1 = (A[j] - 48) * (B[i] - 48) + multiFlag; 21 multiFlag = temp1 / 10; 22 temp1 = temp1 % 10; 23 int temp2 = (result[i+j] - 48) + temp1 + addFlag; 24 addFlag = temp2 / 10; 25 result[i+j] = temp2 % 10 + 48; 26 } 27 result[i + m] += multiFlag + addFlag; 28 } 29 reverseOrder(result, 0, m+n-1); // 逆序回来 30 31 return result; 32 }
最后是测试程序：
1 int main() 2 { 3 char A[] = "962346239843253528686293234124"; 4 char B[] = "93459382645998213649236498"; 5 char *res = multiLargeNum(A, B); 6 if(res[0] != 48) 7 printf("%c", res[0]); 8 printf("%s", res+1); 9 delete [] res; 10 return 0; 11 }
时间复杂度分析：
3个逆序操作的时间分别为O(n)、O(m)、O(m+n)，双重循环的时间复杂度为O(mn)，则总的时间复杂度为O(mn + (m+n))，通常m+n << mn，因此可近似认为为O(mn)。而且，逆序操作只是为了思考更容易，完全可以去掉。
空间复杂度为O(m+n)
