计算前K个正整数N次幂之和(伯努利幂之和问题)

首先讨论一下发blog的事情,自己感觉对别人会有用的东西,就可以发,不一定是非常高深,异或是总结性很强的算法论述.

设F(K,N) = 1^N+2^N+3^N+4^N+5^N+...+K^N.

我们要讨论的是在O(N^2)时间限制内能求出上式对于任意K的值.

如一般所知,

F(K,1) = (K+1)*K/2

以及N=2时的通式.

那么当N=3,4,5..呢?

下面是求解过程.

假定已经求得了N-1, N-2,...1的通式.

那么对于N,设K固定,表达式简化为Fn

(K+1)^(N+1) = K^(N+1)        + C(N,1)*K^N      + C(N,2)*K^(N-1)       + ... + C(N,N)

K^(N+1) 　　 = (K-1)^(N+1)  + C(N,1)*(K-1)^N + C(N,2)*(K-1)^(N-1) + ... + C(N,N)

... ...

1^(N+1)        = 1^N

上面的K+1个式子,分别将等号右边的第一项移位到等号左边.

(K+1)^(N+1) - K^(N+1)        = C(N,1)*K^N      + C(N,2)*K^(N-1)       + ... + C(N,N)

K^(N+1) 　　 - (K-1)^(N+1)  = C(N,1)*(K-1)^N + C(N,2)*(K-1)^(N-1) + ... + C(N,N)

... ...

1^(N+1)        - 1^N               = 0

左边累加和 = (K+1)^(N+1) - 1,

右边累加和 = C(N,1)*Fn+C(N,2)F(n-1)+ ... + C(N,N)F0

左边=右边,则

Fn=((K+1)^(N+1)-(C(N,2)F(n-1)+ ... + C(N,N)F0 + 1)) / N

得证.

其他方法可参见:

1,http://hi.baidu.com/unber/blog/item/e1e4d911b85ee217203f2e69.html

2,100个初等数学问题和解.