DAG的最小路径覆盖和二分图的最大匹配

DAG的最小路径覆盖是指找最小数目的互相不相交的有向路径,满足DAG的所有顶点都被覆盖.

首先给出公式:DAG的最小路径覆盖数=DAG图中的节点数-相应二分图中的最大匹配数.

那么对应一个DAG,如何构造相应的二分图?对于DAG中的一个顶点p,二分图中有两个顶点p和p',对应DAG中的一条有向边p->q,二分图中有p-q'的一条无向边.二分图中p属于S集合,p'属于T集合.

下面我们来解释上面公式为什么成立,思路参考baihacker神牛:

上图中,对应左边的DAG建立构造右边的二分图,可以找到二分图的一个最大匹配M:1-3',3-4',那么M中的这两条匹配边怎样对应DAG中的路径的边?

使二分图中一条边对应DAG中的一条有向边,1-3'对应DAG图中的有向边1->3,这样DAG中1就会有一个后继顶点(3会是1的唯一后继,因为二分图中一个顶点至多关联一条边!),所以1不会成为DAG中一条路径中的结尾顶点,同样,3-4'对应DAG中3->4,3也不会成为结尾顶点,那么原图中总共4个顶点,减去2个有后继的顶点,就剩下没有后继的顶点,即DAG路径的结尾顶点,而每个结尾顶点正好对应DAG中的一条路径,二分图中寻找最大匹配M,就是找到了对应DAG中的非路径结尾顶点的最大数目,那么DAG中顶点数-|M|就是DAG中结尾顶点的最小数目,即DAG的最小路径覆盖数.