【BZOJ】2982: combination（lucas定理+乘法逆元）

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2982

少加了特判n<m return 0就wa了QAQ

lucas定理：C(n, m)%p=(C(n%p, m%p)*C(n/p, m/p))%p

等英语好一点去wiki看一下证明吧QAQhttp://en.wikipedia.org/wiki/Lucas%27_theorem

然后这是网上搜到的关于lucas的一些内容

首先给出这个Lucas定理：

 

A、B是非负整数，p是质数。AB写成p进制：A=a[n]a[n-1]...a[0]，B=b[n]b[n-1]...b[0]。则组合数C(A,B)与C(a[n],b[n])*C(a[n-1],b[n-1])*...*C(a[0],b[0])  mod p同余

即：Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p) 

这个定理的证明不是很简单，我一直想找个很好的张明，但是，没找到，昨天看到了一个解题报告，基本上可以说明白这个Lucas定理是怎么回事了，具体的是说：

以求解n! % p为例，把n分段，每p个一段，每一段求的结果是一样的。但是需要单独处理每一段的末尾p, 2p, ...，把p提取出来，会发现剩下的数正好又是(n / p)!，相当于划归成了一个子问题，这样递归求解即可。

这个是单独处理n!的情况，当然C(n,m)就是n!/(m!*(n-m)!)，每一个阶乘都用上面的方法处理的话，就是Lucas定理了，注意这儿的p是素数是有必要的。

Lucas最大的数据处理能力是p在10^5左右，不能再大了，hdu 3037就是10^5级别的！

 

对于大组合数取模，n,m不大于10^5的话，用逆元的方法，可以解决。对于n,m大于10^5的话，那么要求p<10^5，这样就是Lucas定理了，将n,m转化到10^5以内解。

 

然后左边暴力加逆元就行了，右边就是lucas。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <string>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
#define rep(i, n) for(int i=0; i<(n); ++i)
#define for1(i,a,n) for(int i=(a);i<=(n);++i)
#define for2(i,a,n) for(int i=(a);i<(n);++i)
#define for3(i,a,n) for(int i=(a);i>=(n);--i)
#define for4(i,a,n) for(int i=(a);i>(n);--i)
#define CC(i,a) memset(i,a,sizeof(i))
#define read(a) a=getint()
#define print(a) printf("%d", a)
#define dbg(x) cout << (#x) << " = " << (x) << endl
#define printarr2(a, b, c) for1(_, 1, b) { for1(__, 1, c) cout << a[_][__]; cout << endl; }
#define printarr1(a, b) for1(_, 1, b) cout << a[_] << '\t'; cout << endl
inline const int getint() { int r=0, k=1; char c=getchar(); for(; c<'0'||c>'9'; c=getchar()) if(c=='-') k=-1; for(; c>='0'&&c<='9'; c=getchar()) r=r*10+c-'0'; return k*r; }
inline const int max(const int &a, const int &b) { return a>b?a:b; }
inline const int min(const int &a, const int &b) { return a<b?a:b; }

const int MD=10007;
int mpow(int a, int b) {
	int ret=1;
	for(; b; b>>=1, a=(a*a)%MD) if(b&1) ret=(ret*a)%MD;
	return ret;
}
int getc(int n, int m) {
	if(n<m) return 0;
	int up=1, down=1;
	for1(i, m+1, n) up=(up*i)%MD;
	for1(i, 1, n-m) down=(down*i)%MD;
	return (up*mpow(down, MD-2))%MD;
}
int lucas(int n, int m) {
	return m?(getc(n%MD, m%MD)*lucas(n/MD, m/MD))%MD:1;
}

int main() {
	int t=getint();
	while(t--) {
		int n=getint(), m=getint();
		printf("%d\n", lucas(n, m));
	}
	return 0;
}

 

 

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Description

LMZ有n个不同的基友，他每天晚上要选m个进行[河蟹]，而且要求每天晚上的选择都不一样。那么LMZ能够持续多少个这样的夜晚呢？当然，LMZ的一年有10007天，所以他想知道答案mod 10007的值。(1<=m<=n<=200,000,000)

Input

  第一行一个整数t，表示有t组数据。(t<=200)

  接下来t行每行两个整数n, m，如题意。

Output

T行，每行一个数，为C(n, m) mod 10007的答案。

Sample Input

4
5 1
5 2
7 3
4 2

Sample Output

5
10
35
6

HINT

Source