LIS+LCS+LCIS
PS:本篇博文均采用宏#define FOR(i, a, n) for(i = a; i <= n; ++i)
- LIS:最长上升子序列
废话不多说:http://baike.baidu.com/link?url=bRXFb18sGwPcKpplIIIq40hnngEUJe6S4b1PLgVnaby8zaahrO2NhI2tfoQZmw54#2_1 http://www.nocow.cn/index.php/%E6%9C%80%E9%95%BF%E4%B8%8D%E4%B8%8B%E9%99%8D%E5%AD%90%E5%BA%8F%E5%88%97
设状态f(i)表示前i个数的最长上升子序列的长度,可以得到
f(i) = max{f(j)} + 1, 其中 1 <= j < i且a[i] < a[j]
答案就是max{f(i)}, 1<=i<=nCODE:
FOR(i, 1, n) { f[i] = 1; //初始化 FOR(j, 1, i-1) if(a[j] < a[i] && f[i] < f[j] + 1) f[i] = f[j] + 1, ans = max(ans, f[i]); }
其实就是在前面找一个k,接上去然后是带路径记录的LIS,想法是,既然每次都是找f[j]来接到f[i]上,那么记录每个j,然后逆着走即可:
#include <cstdio> using namespace std; #define FOR(i, a, n) for(i = a; i <= n; ++i) const int maxn = 5000; int n, a[maxn], f[maxn], i, j, ans; int pre[maxn], path[maxn], pos, len; void setIO() { freopen("in", "r", stdin); freopen("out", "w", stdout); } int main() { setIO(); scanf("%d", &n); FOR(i, 1, n) scanf("%d", &a[i]); FOR(i, 1, n) { f[i] = 1; //初始化 FOR(j, 1, i-1) //增序得出来答案是lower_bound(i)的。。 if(a[j] < a[i] && f[i] < f[j] + 1) { f[i] = f[j] + 1; pre[i] = j; //记录接入的路径 if(ans < f[i]) ans = f[i], pos = i; //记录最长的开始下标 } } printf("%d\n", ans); len = ans; if(ans > 0) path[ans--] = pos; //先加入进去,因为没有记录最后的接入路径 while(ans && pos) { if(pre[pos] > 0) { path[ans--] = pre[pos]; pos = pre[pos]; } } FOR(i, 1, len) printf("%d ", a[path[i]]); return 0; }
- LCS:最长公共子序列
还是去看nocow把:http://www.nocow.cn/index.php/%E6%9C%80%E9%95%BF%E5%85%AC%E5%85%B1%E5%AD%90%E5%BA%8F%E5%88%97
设f(i, j)表示a的前i个数和b的前j个数的最大公共子序列长度,有
f(i, j) = f(i-1, j-1) + 1, a[i] == b[j]
f(i, j) = max{f(i-1, j), f(i, j-1)}, a[i] != b[j]
答案是f(sa, sb),sa,sb是a和b的长度
将这个用矩阵表示好理解,具体看nocow
二维:
FOR(i, 1, sa) FOR(j, 1, sb) if(seq1[i] == seq2[j]) f[i][j] = f[i-1][j-1] + 1; else f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j-1]);
由于是方程严格递增并且方程阶段是第二维,那么我们可以转化为一维的
一维:
FOR(i, 1, sa) FOR(j, 1, sb) if(seq1[i] == seq2[j]) f[j] = f[j-1] + 1; else f[j] = max(f[j], f[j-1]);
那么用二维的我们还能求路径,与LIS不同的是,LCS求路径是方程的逆,逆回去即可。。。
可以用矩阵来想
for(i = sa, j = sb; j > 0 && i > 0;) { if(seq1[i] == seq2[j]) { path[num++] = seq1[i]; i--; j--; } else (f[i-1][j] > f[i][j-1]) ? i-- : j--; }
全套:
#include <cstdio> #include <iostream> using namespace std; #define FOR(i, a, n) for(i = a; i <= n; ++i) void setIO() { freopen("in", "r", stdin); freopen("out", "w", stdout); } const int maxn = 500; int i, j, num, f[maxn][maxn], seq1[maxn], seq2[maxn], sa, sb; int path[maxn]; int max(const int& a, const int& b) { return a < b ? b : a; } int main() { setIO(); scanf("%d%d", &sa, &sb); FOR(i, 1, sa) scanf("%d", &seq1[i]); FOR(i, 1, sb) scanf("%d", &seq2[i]); FOR(i, 1, sa) FOR(j, 1, sb) if(seq1[i] == seq2[j]) f[i][j] = f[i-1][j-1] + 1; else f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j-1]); for(i = sa, j = sb; j > 0 && i > 0;) { if(seq1[i] == seq2[j]) { path[num++] = seq1[i]; i--; j--; } else (f[i-1][j] > f[i][j-1]) ? i-- : j--; } cout << f[sa][sb] << endl; for(i = num-1; i >= 0; --i) cout << path[i] << ' '; cout << endl; return 0; }
- LCIS:最长公共上升子序列
这个可以说是LCS和LIS的结合体~。我们用LIS的思想来想,3维的方法我不会。。网上也没有找到,那就只有用n^2算法把。。
具体定义什么的可以参考前一篇博文
这里更新一下求路径的以及一些注释
#include <iostream> #include <cstdio> using namespace std; #define FOR(i, a, n) for(i = a; i <= n; ++i) void setIO() { freopen("in", "r", stdin); freopen("out", "w", stdout); } const int maxn = 550; int seq1[maxn], seq2[maxn], sa, sb; int f[maxn], pre[maxn][maxn], path[maxn], ans, len, maxi, temp, pos1, pos2, i, j, k; int max(const int& a, const int& b) { return a < b ? b : a; } int main() { setIO(); cin >> sa >> sb; FOR(i, 1, sa) cin >> seq1[i]; FOR(i, 1, sb) cin >> seq2[i]; ans = 0; FOR(i, 1, sa) { maxi = temp = 0; //初始化,很重要 FOR(j, 1, sb) //求lcds将a[i] > b[j]改为a[i] < b[j]即可 if(seq1[i] > seq2[j] && f[j] > maxi) maxi = f[j], temp = j; //得到temp = max{f[i-1][k]} else if(seq1[i] == seq2[j]) { f[j] = maxi + 1; pre[i][j] = temp; //能接上b[j]的b[temp],以后用答案直接索引到temp if(ans < f[j]) { pos1 = i; //记录最长公共上升seq所对应的下标i和j pos2 = j; ans = f[j]; } } } cout << ans << endl; len = ans; //和LIS的路径几乎一模一样 if(ans > 0) path[ans--] = pos2; //将最后的添上 while(ans && pos1 && pos2) { //依据pos2(最长seq的j值)一直找 if(pre[pos1][pos2] > 0) { path[ans--] = pre[pos1][pos2]; //将这些k记录下来 pos2 = pre[pos1][pos2]; //更新接上的最大 } pos1--; //因为要的是max{f[i-1][k]},所以要倒着i-1回去找,即f[i-1][k],记录的k值 } FOR(i, 1, len) cout << seq2[path[i]] << ' '; cout << endl; return 0; }