最长公共上升子序列
简称LCIS，在串a和b中，有串c为串a和b的公共串，且c(i-1)<=c(i)<=c(i+1)并且c为所有公共上升子序列中最长串。
/*转自http://wenku.baidu.com/view/3e78f223aaea998fcc220ea0.html
定义状态F[i][j]表示以a串的前i个字符b串的前j个字符且以b[j]为结尾构成的LCIS的长度。
为什么是这个而不是其他的状态定义？最重要的原因是我只会这个，还有一个原因是我知道这个定义能搞到平方的算法。而我这只会这个的原因是，这个状态定义实在是太好用了。这一点我后面再说。
我们来考察一下这个这个状态。思考这个状态能转移到哪些状态似乎有些棘手，如果把思路逆转一下，考察这个状态的最优值依赖于哪些状态，就容易许多了。这个状态依赖于哪些状态呢？
首先，在a[i]!=b[j]的时候有F[i][j]=F[i-1][j]。为什么呢？因为F[i][j]是以b[j]为结尾的LCIS，如果F[i][j]>0那么就说明a[1]..a[i]中必然有一个字符a[k]等于b[j]（如果F[i][j]等于0呢？那赋值与否都没有什么影响了）。因为a[k]!=a[i]，那么a[i]对F[i][j]没有贡献，于是我们不考虑它照样能得出F[i][j]的最优值。所以在a[i]!=b[j]的情况下必然有F[i][j]=F[i-1][j]。这一点参考LCS的处理方法。
那如果a[i]==b[j]呢？首先，这个等于起码保证了长度为1的LCIS。然后我们还需要去找一个最长的且能让b[j]接在其末尾的LCIS。之前最长的LCIS在哪呢？首先我们要去找的F数组的第一维必然是i-1。因为i已经拿去和b[j]配对去了，不能用了。并且也不能是i-2，因为i-1必然比i-2更优。第二维呢？那就需要枚举b[1]..b[j-1]了，因为你不知道这里面哪个最长且哪个小于b[j]。这里还有一个问题，可不可能不配对呢？也就是在a[i]==b[j]的情况下，需不需要考虑F[i][j]=F[i-1][j]的决策呢？答案是不需要。因为如果b[j]不和a[i]配对，那就是和之前的a[1]..a[j-1]配对（假设F[i-1][j]>0，等于0不考虑），这样必然没有和a[i]配对优越。（为什么必然呢？因为b[j]和a[i]配对之后的转移是max(F[i-1][k])+1，而和之前的i`配对则是max(F[i`-1][k])+1。显然有F[i][j]>F[i`][j],i`>i）
于是我们得出了状态转移方程：
a[i]!=b[j]: F[i][j]=F[i-1][j]
a[i]==b[j]: F[i][j]=max{F[i-1][k]}+1 1<=k<=j-1&&b[j]>b[k]
不难看到，这是一个时间复杂度为O(n^3)的DP，离平方还有一段距离。
但是，这个算法最关键的是，如果按照一个合理的递推顺序，max(F[i-1][k])的值我们可以在之前访问F[i][k]的时候通过维护更新一个max变量得到。怎么得到呢？首先递推的顺序必须是状态的第一维在外层循环，第二维在内层循环。也就是算好了F[1][len(b)]再去算F[2][1]。 如果按照这个递推顺序我们可以在每次外层循环的开始加上令一个max变量为0，然后开始内层循环。当a[i]>b[j]的时候令max=F[i-1][j]。如果循环到了a[i]==b[j]的时候，则令F[i][j]=max+1。
最后答案是F[len(a)][1]..F[len(a)][len(b)]的最大值。*/
PS: a[i] > b[j]的原因： 因为由上面的转移有到b[j] > b[k]，当a[i] == b[j]时，我们得到a[i] > b[k]，而这个k就是在a[i] != b[j]的时候找的，也就是说 a[i] > b[j]时得到的F[i-1][j]属于F[i-1][k]。
其实可以优化为1维的，因为F[i][j]中i是严格上升，可以用滚动数组。
在此基础上压掉了一维空间（时间还是平方）。i循环到x的时候，F[i]表示原来F[x][j]。之所以可以这样，是因为如果a[i]!=b[j]，因为F[x][j]=F[x-1][j]值不变，F[x]不用改变，沿用过去的就好了，和这个比较维护更新得到的max值依然是我们要的。而a[i]==b[j]的时候，就改变F[x]的值好了。具体结合代码理解。
可以得到：
a[i]>b[j]: Max=max{Max, F[j]}
a[i]==b[j]: F[j]=Max+1
参考代码：
#include <iostream>
using namespace std;
#define ll long long
const int MAXN = 3005;
int max(const int& a, const int& b){return a>b?a:b;}
ll f[MAXN], a[MAXN], b[MAXN];
int n;
int main()
{
cin >> n;
int i, j, k;
for(i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
for(i = 1; i <= n; i++) cin >> b[i];
ll ans = 0, maxi = 0;;
for(i = 1; i <= n; i++)
{
maxi = 0;
for(j = 1; j <= n; j++)
if(a[i] > b[j] && maxi < f[j]) maxi = f[j];
else if(a[i] == b[j]) f[j] = maxi+1, ans = max(ans, f[j]); //我们在这里直接维护ans就ok
}
cout << ans;
return 0;
}
