【wikioi】1017 乘积最大

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算法：划分型DP

非常典型的一道题目，划分型DP

题目描述：

设有一个长度为N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积能够为最大。同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：有一个数字串：312， 当N=3，K=1时会有以下两种分法：

1)  3*12=36

2)  31*2=62

这时，符合题目要求的结果是：31*2=62现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。

 

设数字串为a1a2a3……an。当k=1时，最大值为

max{a1*a2a3……an,  a1a2*a3……an,  ……  ,  a1a2a3……an-1*an}

当k=2时，最大值为

max{a1*a2*a3……an,  a1*a2a3……*an,  ……  ,  a1a2a3……*an-1*an}

引入记号f[i,k]表示从a0到ai，插入k个乘号所取得的最大值，用c[i,j]表示从ai到aj的数字列，则：

K=1时

f[n,1]=max{c[1,1]*c[2,n],  c[1,2]*c[3,n],  ……  ,  c[1,n-1]*c[n,n]}

K=2时

f[n,2]=max{f[n-1,1]*c[n,n],  f[n-2,1]*c[n-1,n],  ……  ,  f[2,1]*c[3,n]}

所以导出

f[n,k]=max{f[n-1,k-1]*c[n,n],  f[n-2,k-1]*c[n-1,n],  .......  , f[k,k-1]*c[k+1,n]}

我们用F[n][k]来表示f[n,k]，表示划分k次得到的数最大，用A[i][j]表示c[i,j]

得到：

F[i][1] = max(F[i][1], A[1][j]*A[j+1][i])  (1 <= j < i)

F[i][k] = max(F[i][k], A[j+1][i]*F[j][k-1]) (k <= j < i)

其实这里可以简化成：

F[i][0] = A[1][i]  (1 <= i <= n)

F[i][k] = max(F[i][k], A[j+1][i]*F[j][k-1]) (k <= j < i， 1 <= k <= m) m是要添加的乘号数目

而且发现，方程是以划分次数k为阶段，且顺序是递增（从k到i枚举j即可），那么我们就自底向上的来递推

所以顺序就一木了然了

上代码：

#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
using namespace std;

int n, m, i, j, k;
const int MAXK = 10;
const int MAXN = 100;
int c[MAXN] = {0}, A[MAXN][MAXN] = {{0,0}}, F[MAXN][MAXK] = {{0,0}};
int makeConut(int x, int y)   //求x到y之间的数字列
{
	int ans = 0;
	while(x <= y) ans = ans * 10 + c[x++];
	return ans;
}

int main()
{
	string str;
	cin >> n >> m;
	cin >> str;
	for(i = 1; i <= n;i++) c[i] = (str[i-1]-'0');
	for(i = 1; i <= n; i++)
		for(j = 1; j <= n; j++)
			A[i][j] = makeConut(i, j);  //初始化A数组
	//初始化k=0时的情况
	//F[i][0] = A[1][i]  (1 <= i <= n)
	for(i = 1; i <= n; i++)
		F[i][0] = A[1][i];
	//DP
	//F[i][k] = max(F[i][k], A[j+1][i]*F[j][k-1]) (1 <= k <= m)
	for(k = 1; k <= m; k++)
		for(i = k+1; i <= n; i++)
			for(j = i-1; j >= k; j--)
				F[i][k] = max(F[i][k], A[j+1][i]*F[j][k-1]);
	cout << F[n][m] << endl;
	return 0;
}