数据结构基础(16) --树与二叉树
树的基本术语
1.结点:{数据元素+若干指向子树的分支}
2.结点的度:分支的个数(子树的个数)
3.树的度:树中所有结点的度的最大值
4.叶子结点:度为零的结点
5.分支结点:度大于零的结点(包含根和中间结点)
6.(从根到结点的)路径:由从根到该结点所经分支和结点构成;
7.结点的层次:假设根结点的层次为1,则根的孩子为第2层,如果某节点在第L层,则其子树的根在L+1层。
8.树的深度:树中叶子结点所在的最大层次;
二叉树
二叉树或为空树,或是由一个根结点加上两棵分别称为左子树和右子树的、互不交的二叉树组成。(树的度最大为2)
二叉树的重要性质:
性质1:在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点(i≥1);
性质2:深度为 k 的二叉树上至多含 (2^k)-1个结点(k≥1);
性质3:对任何一棵二叉树,若它含有n0 个叶子结点(0度结点)、n2 个度为 2的结点,则必存在关系式:n0 = n2+1。
两类特殊的二叉树:
满二叉树:指的是深度为k且含有(2^k)-1个结点的二叉树。
完全二叉树:树中所含的 n 个结点和满二叉树中编号为 1 至 n 的结点一一对应。(编号的规则为,由上到下,从左到右。如上图所示)
完全二叉树的特点:
1.叶子节点出现在最后2层
2.对于任意结点,若其右分支下的子孙的最大层次为L,则左分支下的子孙的最大层次为L或L+1;
性质4:具有n个结点的完全二叉树的深度为[logn](向下取整)+1。
性质5:若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号,则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点:
(1) 若 i=1,则该结点是二叉树的根,无双亲,否则,编号为 [i/2](向下取整)的结点为其双亲结点;
(2) 若 2i>n,则该结点无左孩子,否则,编号为 2i 的结点为其左孩子结点;
(3) 若 2i+1>n,则该结点无右孩子结点,否则,编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。
二叉树的链式存储实现
说明:
由于这篇博客仅仅是为了演示二叉树的理论, 因此代码所做的封装性以及可用性都不理想, 但由于在实际应用中, 也基本上不可能这样直接的使用二叉树, 因此也就没怎么优化他, 在此首先给大家说声抱歉;
二叉树节点构造
template <typename Type> class TreeNode { friend class BinaryTree<Type>; //因为此处仅仅是为了演示, 因此将之定义为public public: TreeNode(const Type &_data = Type(), TreeNode *_left = NULL, TreeNode *_right = NULL) : data(_data), leftChild(_left), rightChild(_right) { } Type data; TreeNode *leftChild; TreeNode *rightChild; };
二叉树构造:
template <typename Type> class BinaryTree { public: //二叉树可以进行的操作 BinaryTree():root(NULL) {} bool isEmpty() const { return root == NULL; } //先序遍历 void preOrder() const { return preOrder(root); } //中序遍历 void inOrder() const { return inOrder(root); } //后续遍历 void postOrder() const { return postOrder(root); } //层次遍历 void levelOrder() const; private: void preOrder(const TreeNode<Type> *rootNode) const; void inOrder(const TreeNode<Type> *rootNode) const; void postOrder(const TreeNode<Type> *rootNode) const; void visit(const TreeNode<Type> *node) const; //因为此处仅仅是为了演示, 因此将之定义为public public: TreeNode<Type> *root; };
先(根)序的遍历算法:
1.若二叉树为空,则直接返回;
2.否则
(1)访问根结点(visit);
(2)先序遍历左子树;
(3)先序遍历右子树;
//实现 template <typename Type> void BinaryTree<Type>::preOrder(const TreeNode<Type> *subTree) const { if (subTree != NULL) { visit(subTree); preOrder(subTree->leftChild); preOrder(subTree->rightChild); } }
中(根)序的遍历算法:
1.若二叉树为空树,则空操作;
2.否则
(1)中序遍历左子树;
(2)访问根结点;
(3)中序遍历右子树。
//实现 template <typename Type> void BinaryTree<Type>::inOrder(const TreeNode<Type> *subTree)const { if (subTree != NULL) { inOrder(subTree->leftChild); visit(subTree); inOrder(subTree->rightChild); } }
后(根)序的遍历算法:
1.若二叉树为空树,则空操作;
2.否则
(1)后序遍历左子树;
(2)后序遍历右子树;
(3)访问根结点。
//实现 template <typename Type> void BinaryTree<Type>::postOrder(const TreeNode<Type> *subTree)const { if (subTree != NULL) { postOrder(subTree->leftChild); postOrder(subTree->rightChild); visit(subTree); } }
层次遍历算法与visit操作:
template <typename Type> void BinaryTree<Type>::levelOrder() const { std::queue< TreeNode<Type>* > queue; queue.push(root); while (!queue.empty()) { TreeNode<Type> *currentNode = queue.front(); queue.pop(); visit(currentNode); if (currentNode->leftChild != NULL) queue.push(currentNode->leftChild); if (currentNode->rightChild != NULL) queue.push(currentNode->rightChild); } }
template <typename Type> void BinaryTree<Type>::visit(const TreeNode<Type> *currentNode) const { cout << currentNode->data << ' '; }
二叉树构造与运用示例
构造一颗如下的二叉树:
//代码如下 int main() { BinaryTree<char> tree; TreeNode<char> addition('+'), subtraction('-'), multiplies('*'), divides('/'); TreeNode<char> a('A'), b('B'), c('C'), d('D'), e('E'); tree.root = &addition; addition.leftChild = &subtraction; addition.rightChild = &e; subtraction.leftChild = &multiplies; subtraction.rightChild = &d; multiplies.leftChild = ÷s; multiplies.rightChild = &c; divides.leftChild = &a; divides.rightChild = &b; cout << "preOrder: "; tree.preOrder(); cout << endl; cout << "inOrder: " ; tree.inOrder(); cout << endl; cout << "postOrder: "; tree.postOrder(); cout << endl; cout << "level Order"; tree.levelOrder(); cout << endl; return 0; }
遍历算法的应用举例
1.统计二叉树中叶子结点的个数(先序遍历)
2.求二叉树的深度(后序遍历)
3.复制二叉树(后序遍历)