Dilworth定理证明

 命题：偏序集能划分成的最少的全序集的个数与最大反链的元素个数相等。

（离散数学结构第六版课本P245：把一个偏序集划分成具有全序的子集所需要的最少子集个数与元素在偏序下都是不可比的最大集合的基数之间有什么关系？）

 

证明：

设偏序集S。S能划分成的最少的全序集的个数为K，S的最大反链的元素个数为M。

1. 先证明K>=M。设反链A={a1,a2,...,aM}。假设K<M，那么由抽屉原理，必然有两个元素ai,aj在同一个全序集中。那么ai,aj可比。与ai,aj不可比矛盾。

2. 再证明K=M。用第二数学归纳法。

　　设全序集S中有m个元素。

　　(1)当m=0和m=1时，对于命题结论显然成立。

　　(2)假设m<n(n∈N+)时命题成立，现在证m=n时，命题也成立。

　　设x为S中的一个极大元。考虑S'=S-{x}这个偏序集。由于|S'|<n，由归纳假设，S'满足命题。设 S' 能划分成的最小的全序集个数为k，最大反链的元素个数也为k。那么我们设S'被划分成了k个链分别为C₁,C₂,...,C_k。设所有长度为k的反链分别为A₁,A₂,...,A_r。（假设有r条长度为k的反链）

　　那么对于任意一个A_i，A_i的元素必定是k条链上，每条链取一个元素。设为a_i1,a_i2,...,a_ik。

　　那么我们考虑集合B= {b₁,b₂,...,b_k}={ max(a_i1), max(a_i2), max(a_i3), ... , max(a_ik) }。 这个集合一定也是一条反链。（用反证法很容易证明：假设存在两个元素b_i,b_j可比，不妨设b_i<=b_j，其中b_i和b_j分别位于链C_i和C_j上。那么b_i所在链的每个a_ix都与b_j可比，与C_i上存在一个a_ix与b_j不可比矛盾。）（加粗的地方之所以是正确的，是因为C_i与C_j上肯定有两个元素属于同一条反链）

　　现在考虑加入元素x的集合S。一个显然的事实是，加入一个极大元，不可能让划分的最少链个数更少，但是也不能让链的个数增加2及以上（否则肯定不满足最少链）。也不能让反链的最大长度更小。

　　分两种情况：

　　①如果x这个极大元与B中每个元素都不可比。那么考虑B∪{x}，就是一个长度为k+1的反链。那么最少能划分的链的个数至少是k+1。而加入一个元素，链的条数至多增加1。因此，链的最少条数就是k+1。这样，对于这种情况，命题对于m=n时也成立了。

　　②如果x与B中的某个元素可比，假设x与bi可比，那么显然x>=b_i：

　　考虑集合 D={a_i1,a_i2,...,a_ir}∪{x}。D显然也是一条链。 现在考虑S''=S-D这个集合。由于每个长度为k的链都被我们抽掉了一个元素，所以集合S''不会有长度为k的反链了，而长度为k-1的反链显然是存在的（按照原来的构造）。由归纳假设，S''最少能划分成的链也是k-1。不妨设划分为了C'1，C'2，...,C'k-1。

　　那么，我们对S就构造出了k条链的情况：C'₁，C'₂，...,C'_k-1,D。

　　所以反链的长度最大为k了。而去掉x就已经可以构造出长度为k的反链，因此S的最大反链至少是k。因此最大反链就是k。

　至此，证明结束。

参考文献：http://aleph.math.louisville.edu/teaching/2009FA-681/notes-091119.pdf