几个时间复杂度O(logN)的算法

1 二分查找算法

int BinarySearch(const ElementType A[], ElementType X, int N)
{
    int mid, right, left;
    right = 0;
    left = N - 1;

    while(right <= left){           // 不断更新左右边界的索引（实质是每次循环将待查元素减半，实现了O(logN)时间复杂度），直到左索引大于右索引
        mid = (right + left)/2;
        if(A[mid] > X)
            left = mid - 1;
        else if(A[mid] < X)
            right = mid + 1;
        else
            return mid;
    }
    return -1;
}

二分查找算法适合：只需查找，不需要插入(O(N)复杂度?)和删除的情况。如查询元素周期表这种较稳定的数据。

2 欧几里德算法(求最大公因数)

unsigned int Gcd(unsigned int M, unsigned int N)
{
    unsigned int Rem;
     
    while(N > 0){
        Rem = M % N;
        M = N;
        N = Rem;
    }           
    
    return M;
}

若M > N,则第一次循环交换M和N。

若想分析其时间复杂度，则要求循环次数，即生成余数的次数。

可以证明: 当M > N, 则M % N < M / 2

证明：当N <= M/2 时，M % N < M / 2

         当N > M/2时，M - N < M / 2，那么也有M % N < M/2. 

　　　结论成立。

由此可得：有M、N(M>N)两个正整数，第一次循环后其余数小于M/2,第二次循环后其余数小于N/2，所以可以说，每两次循环后，余数最多为原值的一半。

所以最大的求余次数为2logN = O(logN).

2logN并不精确，即使在最坏的情况(如M、N是相邻的fibonacci数)下，仍然可被优化为1.44logN(每次M和余数的商为1.618，则求余的次数为N关于1.618的对数，即1.44logN)。欧几里德算法的平均性能需要大量篇幅的精确计算，迭代次数的平均值约为(12ln2 lnN) / π^2+1.47。

3 求幂

最简单的递推公式：Xⁿ = X^n-1 * X;

　　　　　　　　　X⁰ = 1;

需要Θ(n)步和Θ(n)空间。

还可以: Xⁿ = X ^n/2 * X ^n/2 = (X * X)^n/2    X is even

 　　　 Xⁿ = X^(n-1)/2 * X^(n-1)/2  * X = (X * X)^(n-1)/2 * X     X is odd

long int Pow(long int X，unsigned int N)
{
    if(N == 0)
        return 1;if(N % 2 == 1)
        return Pow(X * X, N/2);
    else
        return Pow(X * X, (N-1)/2) * X;
}

需要Θ(logN)步和Θ(logN)空间。

还可以：Xⁿ = X ^n/2 * X ^{n/2     X is even}

　　　　Xⁿ = X^n-1 * X          X is odd

long int Pow(long int X, unsigned int N)
{
    if(N == 0)
        return 1;
    if(N % 2 == 0)
        return Pow(X*X, N/2);
    else
        return Pow(X, N-1) * X;
}   

 

需要Θ(logN)步和Θ(logN)空间。

在不影响正确性的前提下对代码进行微调是很有趣的。

如对第六行的修改：

1) return Pow(Pow(X,2), N/2);

看上去正确，但当N=2时，return Pow(Pow(X,2),1)调用Pow(X,2)，Pow(X,2)继续调用Pow(X,2),每次递归没有向基准情况推进，无限循环直到崩溃。

2) return Pow(Pow(X, N/2), 2);

看上去正确，但当N = 2时, 调用Pow(X,2),再调用Pow(X,2)...，同(1).

3) return Pow(X, N/2) * Pow(X, N/2);

正确，但影响效率。

每次调用都有两次递归。则总步数为2⁰ + 2¹ + 2² + ... 2^logN  = 2^logN+1 -1 = 2N-1

则需O(N)步和O(N)空间。(待验证)

 以及和上述算法相同的迭代算法。

long int Pow(long int X, unsigned N)
{
    long int a = 1;

    while(N > 0){
        if(N % 2 != 0)
            a *= X;
        N = N/2;
        X *= X;
    }
    return a;
}

例如 X²³ = X * (X * X)¹¹ = X * X² * (X² * X²)⁵ = X * X² * X⁴ *(X⁴*X⁴)² = X * X² * X⁴ * (X⁸ * X⁸)1 = X * X² * X⁴ * X¹⁶ = X²³

该程序中定义了一个变量a,整个程序中保证a * X^N不变，则当N = 0时，a *X^N = a * X⁰ = a,说明这是a的值即我们要求的值。

通常，定义一个不变量，使它在状态间保持不变，这种技术是构建迭代算法的强有力的方法。