树状数组的理解
菜鸟一个，说的不好还望指点
去年学的树状数组，现在都忘没了，复习一下。
给你一组数据，例如a[1],a[2],a[3],...a[k],..a[n],求任意一段区间和（比如说从a[i]---a[j]的所有数的和），线性求解，时间复杂度O(n),规模较大时，会TLE。怎么办？思路：以空间换时间。提前存储一些数据的和。怎么存储会节省时间？
方法一：构造一个和数组sum，每次输入第i个数据,就计算一下前i个数的和sum[i]。当求取前i个数和时，直接输出sum[i],O(1)时间复杂度，不很好吗。可是。。。如果我想更新一下第j个数据，那么就得连带着更新sum[j],sum[j+1],...sum[n]，时间复杂度又是O(n)，悲剧。。。
方法其他：还有其他方法，大家自己想吧，也可以查查。
现在隆重推出重量级方法：树状数组。让求和 和更新都是lg(n)。它的奥妙在哪呢？
设这个数组为tree[n]（没错，就一个数组）
奥妙一：tree中存着神马东西？
举个栗子：tree[12]
解：12------>1100(把12转换为二进制)
把1100变身------>1001 1010 1011 1100
tree[1100]=a[1001]+a[1010]+a[1011]+a[1100]
也就是tree[12]=a[9]+a[10]+a[11]+a[12]
也就是1100从右向左数第一个1，把1及1后边的0去掉（把100去掉），让a[1001]一直加到a[1100]
再举个复杂点儿的栗子：tree[40]
解：40------>101000
101000变身-------->100001 100010 ... 101000
tree[101000]=a[100001]+a[100010]+...+a[101000]
也就是tree[40]=a[31]+a[32]+...+a[40]
也就是101000从右向左数第一个1，把1及1后边的0去掉（把1000去掉），让a[100001]一直加到a[101000]
上两个图，就看清楚了
![灰色的是tree[i]大家可以把1~16转换为二进制验证一下我上边说的](https://pic002.cnblogs.com/images/2012/383641/2012041022444055.gif)
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灰色的是tree[i]大家可以把1~16转换为二进制验证一下
再上个图片
c是tree数组
明白了吗？
那则么求出从右向左数第一个1和它后边的0呢？
奥妙二：怎么求出从右向左数第一个1和它后边的0？
很简单。
知道补码肿么回事吗？正数的补码，不变；负数的补码取反加1，或者说，从右向左数一直不要变，直到第一个1，把1左边的数取反，这个大家都懂吧~
好的，继续。给你一个数x（一定是正数哦），求出他从右向左数第一个1和它后边的0？
1.求出它的补码，0-x
2.x与0-x相与
设出从右向左数第一个1和它后边的0这个数为low(x)
则low(x)=x&(-x)
奥妙三：求和
有了上边的基础，求和就好理解了
例如，求sum(13) 前13个数的和
13变身-------->1101 再变身 (先什么都不去掉)
--------->1101（去掉1，lowbit(1101)）
---------->1100（去掉100,lowbit(100)）
---------->1000
所以 sum[1101]=tree[1101]+tree[1100]+tree[1000]
也就是sum[13]=tree[13]+tree[12]+tree[8]
为什么这么算是对的？
好，复习一下奥妙二
tree[13]=a[13]
tree[12]=a[9]+a[10]+a[11]+a[12]
tree[8]=a[8]+a[7]+...+a[1]
很神奇吧~~~~~~
上个图：
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#define lowbit(x) ((x)&(-x)) int getsum(int i) { int sum=0; while(i>0) { sum+=tree[i]; i-=lowbit(i); } return sum; }
奥妙四：更新
更新一个数a[i],就得连带着更新存着a[i]的一些tree数组。怎么更新？想想~~~
没错！每次给i加lowbit(i)即可
举个栗子:)
更新a[5]，比如给a[5]加上个新值nval
0101(+lowbit(0101))------->0110(+lowbit(0110))------->1000(+lowbit(1000))-------->10000
tree[5]+=nval tree[6]+=nval tree[8]+=nval tree[16]+=nval
上个图
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1 #define lowbit(x) ((x)&(-x)) 2 3 void update(int i,int val) 4 { 5 while(i<=n) 6 { 7 tree[i]+=val; 8 i+=lowbit(i); 9 } 10 }
好了，写到这儿，望各位多多指点
部分图片来自http://community.topcoder.com/tc?module=Static&d1=tutorials&d2=binaryIndexedTrees#find
部分图片不知道原创作者。。。
转载请说明出处，谢各位了
