算法导论-----数论-----元素的幂

1.<a>为a反复相乘生成的子群，(a)为a在中的阶，phi为规模

2.欧拉定理：对n>1,=1(modn),对所有a属于成立

3.费马定理：p素数，,=1(modp) 对所有a属于成立

4.原根：(g)=||,对模n，每个元素都是g的幂，g是的原根或生成元

若包含一个原根，则循环群

5.对所有素数p>2和正整数e，满足循环群n的值为2,4，

6.离散对数：g是中的原根，a是中任一元素，存在z使,=a(modn),z称为离散对数,即

7.离散对数定理：g是原根，则=(modn)成立，当且仅当x=y(modφ(n))成立

8.p 是奇素数且e>=1,则方程仅有两个解，x=1和x=-1

证明：
因为，所以必有原根，设n=

        ,=(modn),)==0(modφ(n))

φ(n)=(p-1),gcd(2,)=2,d=2,且0|2，有两个解，1，-1.

9.平凡平方根：1，-1

10.模n存在1的非平凡平方根，n是合数

11.反复平方法求数的幂(c无用)，所需位操作次数O() β为位数

　　注：下面代码多乘一个a的原因：

　　举例：a^10=a^5*a^5

　　　　　a^5=a^2*a^2*a

MODULAR-EXPONENTIATION(a,b,n)

{

        c =0;

        d =1;

        let<bk,bk-1,…,b0>be the binary represention of b;

        for(i from k down to 0 )

            c=2c;

            d=(d*d)modn;

            if(bi==1)

                c=c+1;

                d=(d*a)modn;

        return d;

}

c语言的两种写法

1.递归

__int64 exp_mod(__int64 a, __int64 n, __int64 b)

{

    __int64 t;

    if(n==0) return 1%b;

    if(n==1) return a%b;

    t=exp_mod(a,n/2,b);

    t=t*t%b;

    if((n&1)==1) t=t*a%b;

    return t;

}

2.递推

__int64 modexp(__int64 a,__int64 b,__int64 n)     

{     

    __int64 ret=1;     

    __int64 tmp=a;     

    while(b)     

    {     

       //基数存在     

       if(b&0x1) ret=ret*tmp%n;     

       tmp=tmp*tmp%n;     

       b>>=1;     

    }     

    return ret;     

}