【FFT（母函数）+容斥】BZOJ3771-Triple

【题目大意】

给出 n个物品，价值为别为Xi且各不相同，现在可以取1个、2个或3个，问每种价值和有几种情况？

*顺序不同算一种

【思路】

显然是个母函数，A表示每种物品取一个的情况，B表示每种物品取二个的情况，C表示每种物品取三个的情况。用指数表示价值，系数表示该价值的个数，显然多项式相乘后指数会相加，系数会相乘，很容易就求出来了。

所以对于每种物品价值Xi,A[xi]++,B[2*xi]++,C[3*xi]++。

如果取1个物品，答案就是A。

如果取2个物品，A^2中有重复的(xi,xi)的情况，所以答案为A^2-B。

如果去3个物品，A^3中可能有(xi,xi,xi)(xi,xi,yi)(xi,yi,xi)(yi,xi,xi)这几种重复的情况，而A*B能够求出所有形容(xi,xi,xi)和(xi,yi,yi)的情况数。(xi,xi,yi)(xi,yi,xi)(yi,xi,xi)总的情况数=(xi,yi,yi)*3，而A*B*3又会多减去了两次(xi,xi,xi)，所以要用C加回来。所以答案为A^3-3*B*A+2C。又由于顺序不同算一种情况，因为每种物品价值都不一样，情况(2)/2,情况(3)/6。

故总情况数量=++

 （公式好烦啊把默认编辑器换成Markdown算了）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<complex>
#include<cmath>
#define pi acos(-1)
using namespace std;
typedef complex<double> com;
typedef long long ll;
const int MAXN=262144+50;
com a[MAXN],b[MAXN],c[MAXN];
int m,n,len,L,Rev[MAXN];
void get_bit(){for (n=1,L=0;n<m;n<<=1) L++;} 
void get_Rtable(){for (int i=0;i<n;i++) Rev[i]=(Rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));}

void FFT(com* a,int flag)
{
    for (int i=0;i<n;i++)if(i<Rev[i])swap(a[i],a[Rev[i]]); //利用逆序表，快速求逆序
    for (int i=1;i<n;i<<=1)
    {
        com wn(cos(2*pi/(i*2)),flag*sin(2*pi/(i*2)));
        for (int j=0;j<n;j+=(i<<1))
        {
            com w(1,0);
            for (int k=0;k<i;k++,w*=wn)
            {
                com x=a[j+k],y=w*a[j+k+i];
                a[j+k]=x+y;
                a[j+k+i]=x-y;
            }
        }
    }
    if (flag==-1) for (int i=0;i<n;i++) a[i]/=n;
}


void init()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=0;i<n;i++)
    {
        int ai;
        scanf("%d",&ai);
        a[ai]+=(1);b[2*ai]+=(1);c[3*ai]+=(1);
        len=max(len,3*ai);
    }
}

void solve()
{
    m=len<<1;
    len++;m++;
    get_bit();
    get_Rtable();
    FFT(a,1);
    FFT(b,1);
    FFT(c,1);
    com t2=(2),t3=(3),t6=(6);
    for (int i=0;i<n;i++) 
       a[i]=(a[i]*a[i]*a[i]-t3*a[i]*b[i]+t2*c[i])/t6+(a[i]*a[i]-b[i])/t2+a[i];
    FFT(a,-1);
}

void get_ans()
{
    for (int i=1;i<m;i++) 
    {
        ll num=(ll)(a[i].real()+0.5);
        if (num!=0) printf("%d %d\n",i,num);
    }
}

int main()
{
    init();
    solve();
    get_ans();
    return 0;
}