根据《随机RFM模型及其在零售顾客价值识别中的应用》进行摘抄，整理，以备后期借鉴使用
一、问题与思路
问题：对顾客价值进行准确的识别与评估
输入：流失时间(最近一次购买时间)(Recency,R)、购买次数(Frequency,F)、购买金额(Monetary,M)
输出：顾客未来反应的可能性
思路：
1、利用随机概率模型建立起R-F-M变量与顾客未来购买行为反应间的联系
通常都是利用泊松(Poisson)或指数(Exponential)分布捕捉顾客购买时间以及 次数，再利用Gamma分配捕捉顾客的异质性
负二项模型主要是结 合Poisson分布以及Gamma分布而成的混合型模型(Mixture Model)，应用在估计顾客购买频率上
2、假定顾客数据库中存在两类顾客:活跃客户(在未来可能与公司发生交易的客户) 与不活跃客户(在未来可能不与公司发生交易的客户)
首先，我们通过建立随机概率模型从顾客的交易历史中进行推 理，剔除那些可能不再活跃的客户，
之后利用随机概率模型 预测出顾客的购买次数(F)和购买金额(M)，从而实现对顾 客价值的识别
二、模型假设
假设一:
顾客购买频率和购买金额两个不同的行为维度是互相独立，不具有相关性。
因此这两个行为的概率函数的参数互相独立。
假设二:
顾客的购买状态转移行为符合马可夫链的假设，
即顾客下一期购买状态发生的概率只和上一期的购买状态有关。
假设三:
假设单个顾客购买次数f服从泊松分布(PoissonDistribution):
公式(1)表示，在单位时间单个顾客平均购买率为λ时，单位时间内购买次数f的概率分布函数。
假设四:
因为考虑顾客的异质性，故假设单个顾客单位时间平均购买率λ服从Gamma分布:
假设五:
假设单个顾客发生购买行为的平均单次购买金额服从Gamma分布，
因为购买金额不可能为负，不适合用正态分布来捕捉，因此依据Colombo和Jiang的研究［3］，
采用更具有弹性、并且符合购买金额不为负的特性的Gamma分布:
公式(3)中，m为平均单次购买金额。
假设六:
依据Colombo和Jiang的研究［3］，由于顾客平均单次购买金额服从的Gamma分布的平均值为u/θ，
为了考虑顾客的异质性，假设此Gamma分布的平均值u/θ随着不同顾客而变动，
因此，将u定义为常数值(等价于限制所有顾客之间的协方差相等)，利用θ捕捉每位顾客购买金额行为的不同，
因此假设顾客平均单次购买金额的Gamma分布的参数θ符合另一个Gamma分布:
三、模型定义
1、顾客流失时间(R)分析预测模型
推导：
如果一个顾客是活跃的，对于购买率为![]()
的顾客，观测到距离上次购买的间距至少为r的可能性是![]()
。
假设![]()
符合gamma分布，对于随机抽取的在单位时间内购买f次的顾客来说，
观察到距离上次购买间距至少为r的概率是：
如果观测到间距至少为r的可能性很小，比如说小于0.1，我们就会拒绝这个顾客是活跃的原有假设。
严格来说，我们是拒绝了顾客购买以特定概率符合泊松分布的假设。
2、顾客购买次数(F)分析预测模型
推导：
A、根据假设三和假设四可以推导出顾客购买次数的概率为负二项分布(NegativeBinomialDistribution，NBD)［9］:
B、由于所求的未来购买次数的期望是在历史购买次数的基础上得到的，
所以，利用Bayes理论经推导便可得到单位时间内每个顾客未来购买次数的期望值
其中，fi是第i个顾客的期望购买次数，w和α是原有NBD模型中求出的参数，xi是指顾客在过去单位时间内购买的次数。
C、利用公式(7)，就可以通过顾客过去的购买次数预测顾客未来购买次数，这就是预测顾客未来购买次数的模型基础。
3、顾客购买金额(M)分析预测模型
推导：
A、根据假设五和假设六可以推导出顾客各期次平均购买金额的概率分布函数为Gamma-Gamma混合型函数［3］:
B、根据假设五和假设六可以推导出顾客各期次平均购买金额的概率分布函数为Gamma-Gamma混合型函数［3］:
其中，mi是顾客i在上期xi次交易中的次平均购买金额。
C、利用公式(9)，就可以通过顾客过去的购买金额来预测顾客未来的购买金额，这就是预测顾客每次购买金额的模型基础。
四、模型估计
五、模型训练
