图

1. 定义
   图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G(V, E)，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。
   注意：
   a.线性表中把数据元素叫元素，树中叫结点，图中称之为顶点（Vertex）；
   b.线性表没有数据元素叫空表，树中没有结点叫空树，而图中不允许没有顶点，所以定义中才是顶点的有穷非空集合；
   c.线性表中相邻数据元素之间具有线性关系，树中相邻两层结点具有层次关系，图中任意两个顶点之间都可能有关系（顶点之间的逻辑关系用边来表示，边集可以为空）。

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2. 图的分类
   a.按有无方向
   　　无向图(Undirected graphs)：顶点+边（无向边Edge(vi, vj)）；
   　　

   

   
   　　　　无向完全图：任意两个顶点都存在边，cntEdge = cntVex * (cntVex - 1) / 2。
   　　　　　　

   

   
   　　有向图(Directed graphs)：顶点+弧（有向边Arc<vi, vj>），弧有弧尾（vi）与弧头（vj）之分。
   　　　　

   

   
   　　　　有向完全图：任意两个顶点都存在方向互为相反的两条弧，cntEdge = cntVex * (cntVex - 1)。
   　　　　　　

   

    
   b.按边（弧）的多少
   　　简单图*：不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，下图为非简单图；
   　　　　

   

   　　稀疏图/稠密图：就是相对于边（弧）的多少来说的。
   c。其他分类
   　　网：边（弧）带权值的图；
   　　　　

   

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3. 图的顶点与边的关系
   　　a.无向图G=(V, {E})，如果边(v, v')∈E，则称顶点v与v'互为邻接点（Adjacent），即v和v'相邻接。边(v, v')依附于顶点v与v'（或者边(v, v')与顶点v与v'相关联）；（注：个人觉得这就是废话，我这条边属于整个图所有边的集合，必然v和v'相邻啊，后面的必然也是废话。）
   　　　　a.1.顶点v的度（Degree）是和v相关联的边的数目，记为TD(v)；
   　　b.有向图G=(V, {E})，如果弧<v, v'>∈E，则称顶点v邻接到顶点v'，顶点v'邻接自顶点v。弧<v, v'>与顶点v和顶点v'相关联。
   　　　　b.1.以顶点v为头的弧的数目称为v的入度（InDegree），记为ID(v)；以顶点v为尾的弧的数目称为v的出度（OutDegree），记为OD(v)。
   　　c.路径（Path）：就简单的理解为一个顶点到另一个顶点走过的边（弧）的集合。
   　　　　c.1.简单路径：序列中顶点不重复出现的路径；
   　　　　c.2.环（回路）：最后一个顶点和第一个顶点相同的路径；
   　　　　　　c.2.1简单环（回路）：就是除了最后一个顶点和第一个顶点重复以外，不存在其他顶点重复（左图简单环，右图非简单环）。
   　　　　　　　　

   

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4. 连通图相关
   a.无向图中，顶点v到顶点v'存在路径，那么顶点v与顶点v'是连通的；
   b.图中如果对于任意的顶点v与v‘都是连通的，且路径中的每条边都属于E（个人理解），那么该图是连通图。下图1为非连通图，图2为连通图。
   　　

   

   

   
   c.连通分量：无向图中的极大连通子图；
   　　注：1.要是子图；
   　　　　2.子图要是连通的；
   　　　　3.连通子图含有极大顶点数；
   　　　　4.具有极大顶点数的连通子图包含依附于这些顶点的所有边。
   　　上四图说明：图1是一个无向非连通图，但它有两个连通分量，图2和图3。而图4虽然是图1的子图，但它不满足连通子图的极大顶点数。
   d.有向图类似与无向图，只是换了个名字。有向图的连通图叫强连通图，连通分量叫强连通分量。
   e.生成树
   　　e.1.无向图中连通且n个顶点n-1条边叫生成树；
   　　e.2.有向图中一顶点入度为0其余顶点入度为1的是有向树；
   　　e.3.一个有向图若干棵有向树构成森林。

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5. 图的存储结构
   　　a.邻接矩阵
   　　　　图的邻接矩阵（Adjacency Matrix）是用两个数组来表示图。顶点（一维数组），边或弧（二维数组（称邻接矩阵））。
   　　　　　　对于无向图，邻接矩阵是个对称矩阵，某顶点的度=邻接矩阵中vi的第i行（或者列）所有元素之和。
   　　　　　　对于有向图，邻接矩阵不是对称矩阵，顶点入度=邻接矩阵中vi的第i列之和，出度=第i行之和。
   　　　　图的边上有了权值，也就是网图，邻接矩阵的定义如下：
   

   

   
   　　　　　　注：因为权值只是一般来说才是正值，有时候也可能是0或者负值，所以使用无穷来表示一个不可能的值。
   　　　　　　一个简单的有向网图及其存储结构如下图所示：

   

   
   　　　　邻接绝阵存储结构代码实现

   // 邻接矩阵方式存储图结构
   typedef char VertexType; // 顶点的类型
   typedef int EdgeType; // 边上的权值类型
   
   #define MAXVEX 100 // 最大顶点数
   #define INFINITY 65535 // 65535 代表 无穷
   
   typedef struct
   {
       VertexType vexs[MAXVEX]; // 顶点表
       EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX]; // 邻接矩阵，看作边表
       int numVertexes, numEdges; // 图中当前的顶点数，边数
   }MGraph;

   　　　　创建无向网图代码实现

   // 创建无向网图的邻接矩阵表示，n个顶点，e条边，时间复杂度O(n+n^2+e)
   void CreateMGraph(MGraph *G)
   {
       int i, j, k, w;
       //printf("请输入顶点数和边数:\n");
       printf("input the number of vertex and edge(v, e):\n");
       scanf("%d,%d", &G->numVertexes, &G->numEdges);
       getchar();
       for (i=0; i<G->numVertexes; i++) {
           scanf("%c", &G->vexs[i]);
   //        printf("%c", G->vexs[i]);
       }
   
       for (i=0; i<G->numVertexes; i++) {
           for (j=0; j<G->numVertexes; j++) {
               G->arc[i][j] = INFINITY;
           }
       }
   
       for (k=0; k<G->numEdges; k++) {
          // printf("请输入边(vi, vj)上的下标i, 下标j和权值w:");
           printf("input edge(vi, vj), index of i, j and the weight(w):");
           scanf("%d,%d,%d", &i, &j, &w);
   
           G->arc[i][j] = w;
           G->arc[j][i] = G->arc[i][j]; // 图为无向图，矩阵对称
       }
   }

   　　b.邻接表
   　　　　邻接矩阵的问题：对于边数 相对 顶点数较少的图，该结构对存储空间的浪费较大。
   　　　　邻接表（Adjacency List），数组与链表相结合的存储方法。一维数组（顶点，指向第一个邻接点的指针）），单链表（vi的所有邻接点）（无向图称为vi的边表，有向图称为vi作为弧尾的出边表）。
   　　　　一个简单的无向图的邻接表结构如下图：

   

   　　　　一个简单的有向图的邻接表与逆邻接表（方便顶点的入度+以顶点为弧头的弧）结构如下图：

   

   
   　　　　对于带权值的网图，只需要在邻接表中间添加一个weight的数据域用来存放权值即可。如下图所示：

   

   
   　　　　邻接表存储结构代码实现

   // 邻接表方式存储图结构
   typedef char VertexType;
   typedef int EdgeType;
   
   #define MAXVEX 100 // 最大顶点数
   
   // 边表结点
   typedef struct _EdgeNode
   {
       int adjvex; // 存储该顶点对应的下标
       EdgeType weight;
       struct EdgeNode *next;
   }EdgeNode;
   
   // 顶点表结点
   typedef struct _VertexNode 
   {
       VertexType data; 
       EdgeNode *firstedge; // 边表头指针
   }VertexNode, AdjList[MAXVEX];
   
   // 邻接表图结构
   typedef struct 
   {
       AdjList adjList;
       int numVertexes, numEdges; // 当前顶点数和边数
   }GraphAdjList;

   
   　　　　创建无向图代码

   // 无向图创建邻接表，时间复杂度O(n+e)
   void createALGraph(GraphAdjList *G)
   {
       int i, j, k;
       EdgeNode *e;
       printf("Input the number of vertextes and edges:\n");
       scanf("%d,%d", &G->numVertexes, &G->numEdges);
       
       getchar();
       for (i=0; i<G->numVertexes; i++) {
           scanf("%c", &G->adjList[i].data);
           G->adjList[i].firstedge = NULL;
       }
       
       for (k=0; k<G->numEdges; k++) { // 建立边表
           printf("Input edge (vi, vj), i and j:\n");
           scanf("%d,%d", &i, &j);
           
           // 其实就是链表的头插法创建链表
           e = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
           e->adjvex = j;
           e->next = G->adjList[i].firstedge;
           G->adjList[i].firstedge = e;
           
           e = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
           e->adjvex = i;
           e->next = G->adjList[j].firstedge;
           G->adjList[i].firstedge = e;
       }
   }

   
   　　c.十字链表、邻接多重表、边集数组等结构先不研究了
6. 图的遍历
   　　a.深度优先遍历
   　　
   　　b.广度优先遍历