零基础制作物理引擎--创造力量

写在前面

上篇其实有重力，但是重力是经过重心，可以把物体看出质点，问题就变得简单，经过重心只产生线速度，不产生角速度。

这篇文章的力量其实是指：力（Force）和冲量（Impulse），不一定过重心。

边写引擎过程中，边补习牛顿经典力学体系，但是依然记得大学时候物理老师反复强调：“牛顿错了，牛顿错了，牛顿那一套只是狭义相对论在低速下的近似表现”。

所以顺带又科普了一下爱因斯坦那一套东西，后来发现，写个物理引擎用牛顿足矣。= =！

目标

本篇目标是为刚体新增两个方法，一个是创造力，一个是创造冲量。
创造力：

applyForce: function (force, point) {

}

• 参数一:force是一个Vector2对象的实例，代表了力的沿着x、y方向上的大小。
• 参数二:point是施力点的世界坐标

创造冲量

applyImpulse: function (impulse, point) {

}

• 参数一:impulse是一个Vector2对象的实例，代表了冲量的沿着x、y方向上的大小。
• 参数二:point是施放冲量点的世界坐标

准备工作

知识准备

冲量和时间的关系

I = F * t

圆盘转动惯量

m * r * r / 2 （r为半径）

长方体转动惯量

m*（a * a + b * b）/ 12 （a和b分别为长和宽）

更多转动惯量，请参见： https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_moments_of_inertia

I * L / 转动惯量 = 角加速度 （L为力矩长度）

转动惯量越大，对转动的抵抗就越大，就越难让其旋转。

图解

假设一个刚体收到冲量I：

冲量I可以拆分成3个冲量分量，I1、I2、I3，其中：

• I1产生X轴和Y轴方向线速度
• I2产生角速度和Y轴方向线速度
• I3产生角速度和X轴方向线速度

过重心，作一条垂直于I2的垂线，垂线的长度（力矩长度）乘以 冲量分量I2 除以 转动惯量 = 角加速度，

过重心，作一条垂直于I3的垂线，垂线的长度（力矩长度）乘以 冲量分量I3 除以 转动惯量 = 角加速度，

I2和I3产生的角加速度需求累加。

程序

applyImpulse: function (impulse, point) {
    var rA = point.clone().sub(this.position);
    //如果不通过重心
    if (rA.x !== 0 || rA.y !== 0) {
        var nv = rA.clone().normalize();
        var tangent = new Newton.Vector2(nv.y, -nv.x);

        var ni = nv.multiply(nv.x * impulse.x + nv.y * impulse.y);
        this.linearVelocity.x += ni.x * this.invMass;
        this.linearVelocity.y += ni.y * this.invMass;

        var tni = tangent.multiply(tangent.x * impulse.x + tangent.y * impulse.y);
        this.linearVelocity.x += tni.x * this.invMass;
        this.linearVelocity.y += tni.y * this.invMass;
        this.angularVelocity += (rA.x * tni.y - rA.y * tni.x) * this.invRotationalInertia;
    } else {  //如果过重心
        this.linearVelocity.x += impulse.x * this.invMass;
        this.linearVelocity.y += impulse.y * this.invMass;
    }
}

上面有个条件分支，当冲量的方向经过重心的时候，只产生线速度。

因为转动惯量的倒数和质量的倒数使用非常频繁，所以在构造函数内就提前计算好，如圆的构造函数里提前求好了转动惯量的倒数：

Newton.Circle = Newton.Body.extend({
    ctor: function (option) {
        this._super(option);
        this.r = option.r;
        this.rSqu = this.r * this.r;
        this.type = Newton.CIRCLE;
        this.invRotationalInertia = 2 / (this.mass * Math.pow(this.r , 2));
    }
});

同样，在矩形的构造函数里，也提前求出来转动惯量的倒数：

this.invRotationalInertia = 12 / (this.mass * (Math.pow(this.width, 2) + Math.pow(this.height, 2)));

但是需要注意的是，如果质量发生改变的话，转动惯量也需要发生相应改变，所以可以使用Object.defineProperty()去定义mass，在set里面改变invRotationalInertia。

有了上面的applyImpulse方法，封装applyForce就会简单许多：

applyForce: function (force, point) {
    this.applyImpulse(force.clone().multiply(Newton.World.TimeStep),point);
}

冲量等于力在时间上的累加，这里提供的力的时间长度为最小时间片段。

简化代码

通过Vector2的cross方法可以把applyImpulse简化成如下代码:

applyImpulse: function (impulse, point) {
    var rA = point.clone().sub(this.position);
    this.linearVelocity.add(impulse.clone().multiply(this.invMass));
    this.angularVelocity += this.invRotationalInertia * rA.cross(impulse);
}

举个例子

var world = new Newton.World();
Newton.World.Gravity.y=0;

var box = new Newton.Rectangle({
    width: 70,
    height:30,
    position: new Newton.Vector2(100, 300),
    linearVelocity: new Newton.Vector2(0, 0),
    angularVelocity:0
});
world.add(box);

document.querySelector("#ourCanvas").addEventListener("click",function(evt){
    box.applyImpulse(new Newton.Vector2(200,-250),new Newton.Vector2(box.position.x-10,box.position.y-10))
}, false);

var render = new Newton.Render("#ourCanvas");
world.onTick(function () {
    render.clear();
    render.rect(box.position.x, box.position.y, box.width, box.height, box.rotation);
})

world.start();

这里把重力加速度设成了0，角速度和线速度都是0，所有在100，300的位置能够看到一个静止的矩形。当点击Canvas的时候，
在刚体重心的左上方10个像素的位置施加右上（200，-250）的冲量，可以看到它如下图所示的方式飞出去：

最后

因为多边形的转动惯量和重心计算要比圆形和矩形复杂一下，这里先不展开，待物理引擎骨架基本建立之后再做完善。
未完待续...