从自然数到有理数

看完本文后你至少会明白：

1. 自然数是否包括0
2. 有理数为什么可以用\(\dfrac {p} {q}\)这种形式唯一表示
3. 如何从自然数很自然地过渡到有理数
4. 如何证明\(\sqrt {2}\)不是有理数

简单地来讲，自然数就是0,1,2,3, ...这些用来“数个数”的数，我们可以很直观地接受它们的存在。0是否包含在自然数里只是一个约定上的分歧^[1]，本文约定自然数包括0，后面我们会看到这种规定的优势。在自然数里进行“加”或“乘”运算产生的仍然是自然数，进行减法运算会出现“不够减”的情况，比如： $$1-2=?$$ 在自然数里这个式子没结果，为了解除这种限制，我们引入了负数， $$-1, -2, -3, ...$$ 自然数和负数统称为整数。正整数是1, 2, 3, 4, ...这些，它与自然数的区别在于是否包含0，这种区别正好可以让这两个概念各尽其用，要是规定自然数不包括0，那么这两个数的概念将会等同起来，最终就会不得不产生“自然数和0”、“正整数和0”、“非负整数”这些相对较为啰唆的表述，这就是规定自然数包括0的优势啦（此规定下“非负整数”就可以用“自然数”取而代之）。另外，把0包含在自然数集内对于集合论也是有着重要意义^[2]。

在整数里进行除法有时候也会产生无解的情况，比如\(4\div 3\)的结果就不是整数，为此我们引入有理数这个概念。有理数就是可以写成\(\dfrac {p} {q}\)这种形式的数，这里\({p}\)和\({q}\)都是整数并且\({q≠0}\)。整数也可以写成\(\dfrac {p} {q}\)这种形式，比如\(2=\dfrac {2} {1}=\dfrac {-4} {-2}\)，所以整数也是有理数。但是每个有理数的\(\dfrac {p} {q}\)表示形式并不是唯一的，比如\(\dfrac {2} {4}\)、\(\dfrac {1} {2}\)、\(\dfrac {-2} {-4}\)这三个都表示同一个数，为了让有理数的\(\dfrac {p} {q}\)表示形式唯一，我们可以规定\({p}\)是正整数，并且\({p}\)和\({q}\)没有比1大的公因子^[3]，那么不能用\(\dfrac {p} {q}\)这种形式唯一表示的就不是有理数了，我们可以据此来证明\(\sqrt {2}\)不是有理数（后续我会讲到如何从有理数过渡到无理数，此处先提到\(\sqrt {2}\)这个无理数并无大碍，毕竟各位之前都有所了解）。
我们首先假设\(\sqrt {2}\)是有理数，那么\(\sqrt {2}\)就可以用\(\dfrac {p} {q}\)这种形式唯一表示，即$$\sqrt {2}=\dfrac {p} {q}$$，按规定\(p\)和\(q\)没有比1大的公因子，把等式(\({\frac{p}{q})}^{2} = 2\)稍作变换得到\(p^{2} = 2q^{2}\)，那么\(p^{2}\)就是偶数了，显然\(p\)也必须是偶数，便有\(p = 2p_{0}\)，\(p_{0}\)是整数，把前面等式的\(p\)换作\(2p_{0}\)就有\(4p_{0}^{2} = 2q^{2}\)，即\(2p_{0}^{2} = q^{2}\)，这说明\(q^{2}\)是偶数，显然\(q\)也必须是偶数，于是\(p\)和\(q\)有公因子2，这与前面“\(p\)和\(q\)没有比1大的公因子” 的规定矛盾，而造成这种矛盾的起因就是我们一开始假设\(\sqrt {2}\)是有理数，这就证明了\(\sqrt {2}\)不是有理数^[4]。

References :

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1. Terence Tao, Analysis I, third edition, P15 ↩︎

2. D.C. Goldrei, Classic Set Theory: For Guided Independent Study, P32 ↩︎

3. Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis Volume I, Reprint of the 1989 edition, P2 ↩︎

4. Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis Volume I, Reprint of the 1989 edition, P5 ↩︎