莫队算法

机房的众神犇都在搞这个东西，本SB也掺和一下下吧。

莫队算法可用于解决一类可离线且在得到区间\([l,r]\)的答案后，能在\(O(1)\)或\(O(\log_2{n})\)得到区间\([l,r+1]\)或\([l-1,r]\)的答案的问题

先看这样一个问题：

给出n个数字，m次询问，每次询问在区间\([l_i,r_i]\)之间任选两个数字相等的概率是多少。（n,q<=50000）（小z的袜子）

在区间\([l,r]\)中，这个概率是：

\[\frac{\sum_{i=1}^{v}C(2,f(i))}{C(2,r-l+1)}$$ (v表示数字值，f(i)表示数字i在区间内出现的次数) 由于没有加和性质，传统的线段树什么的完全派不上用场了呢！ 考虑分子，因为$C(2,x)=\frac{x^2-x}{2}$，所以分子=$\frac{\sum_{i=1}^{v}f(i)^2-\sum_{i=1}^{v}f(i)}{2}$ 显然 $\sum_{i=1}^{v}f(i)=r-l+1$ 若得知区间$[l,r]$的答案怎么求区间$[l,r+1]$的答案呢？仔细想想。恩，有了。区间$[l,r+1]$与区间$[l,r]$相比只多了一个元素Z，这种改动是很小的，那么前式中分子的值$S=S_0-f(Z)^2+(f(Z)+1)^2-1=S_0+2*f(Z)$，同时++f(z)，恩，$O(1)$的。这样的话，在处理下一个询问$[l_i,r_i]$时，复杂度就是$O(|r-r_i|+|l-l_i|)$的。同样的方法，也可以在$O(1)$内求出$[l-1,r]$，$[l+1,r]$,$[l,r-1]$。这样的方法对于随机数据表现是很好的，但也不难给出故意卡你的数据。 这时，就需要莫队算法来撑腰了，这也是莫队算法优化的精髓。 注意到，每个区间可以抽象成平面中的点，每次转移的花费都相当与从某点到另一点的曼哈顿距离的长度。恩，所以呢？ 所以我们花费的便是这些平面中的点联通的曼哈顿距离。平面点的曼哈顿最小生成树！ 对！但平面点的曼哈顿最小生成树怎么求呢？枚举两两点连接$O(n^2)$，毫无意义。其实平面点的曼哈顿最小生成树有基于平面区域划分的$O(nlog_2n)$的求法，但我们有更简洁的方法。对，分块！ 神犇曰：分块是个好东西 确实，利用分块，我们可以实现$O(n\sqrt{n})$的时间复杂度。虽然求解平面点的曼哈顿最小生成树是$O(nlog_2n)$的，但根据莫队论文中的证明，用到这里时，仍然是$O(n\sqrt{n})$，只不过常数小一些罢了。 分块的做法： 取$x=\sqrt(n)$，以$[1,x],[x+1,2x],[2x+1,3x]...$分块 用pos数组维护端点i在第pos[i]块中，然后就搞呗。 这样搞： 1)：排序，以左段点所在的块为第一关键字，以右端点为第二关键字 2)：从左往右处理询问（离线） 3)：不断调整l,r的位置并同时修改 时间复杂度证明： >右端点移动： > 首先我们考虑一个块里面的转移情况 > 由于一个块里面的询问都按右端点排序 > 所以我们右端点在一个块里面最多移动n次 > 有 $O(\sqrt{n})$个块，那么同一个块内的右端点移动最多就是$O(n\sqrt{n})$ > 然后考虑从一个块到另一个块导致的右端点变化 > 最坏情况，右端点由n到1，那么移动n次 > 有 $O(\sqrt{n})$个块 > 那么从一个块到另一个块的事件只会发生$O(\sqrt{n})$次…… > 所以这种右端点移动的次数也是$O(n\sqrt{n})$次 > 没有别的事件导致右端点移动了 > 左端点移动： > 同一个块里面，由于左端点都在一个长度为$O(\sqrt{n})$的区间里面 > 所以在同一块里面移动一次，左端点最多变化$O(\sqrt{n})$ > 总共有n个询问…… > 所以同一块里面的移动最多n次 > 那么同一个块里面的左端点变化最多是$O(n\sqrt{n})$的 > 考虑跨越块 > 每由第i个块到第i+1个块，左端点最坏加上$O(\sqrt{n})$ > 总共能加上$O(\sqrt{n})$次 > 所以跨越块导致的左端点移动是$O(n)$的 综上，分块做法是$O(n*\sqrt{n})$。 ##总结 莫队算法在解决离线区间询问几乎是**无敌**的。 恩，几乎只要能离线，用分块的莫队算法都能取得一个令人满意的的解法。 所以就有很多扩展（解决线段树等数据结构由于需要区间加和性而不能解决的问题），如区间众数，平均数什么的。 恩。棒！ 附: [BZOJ]2038 小Z的袜子 分块 莫队算法 ```cpp #include <cstdio> #include <cmath> #include <algorithm> using namespace std; const int maxn = 50000 + 500; typedef long long LL; LL gcd(LL a,LL b) { return (b==0)?a:gcd(b,a%b); } int pos[maxn]; int col[maxn]; int f[maxn]; int n,m; struct Query { int l,r,id; LL a,b; friend bool operator < (const Query &R,const Query &T) { return pos[R.l]<pos[T.l] || (pos[R.l]==pos[T.l] && R.r<T.r); } void modify() { LL k=gcd(a,b); a/=k,b/=k; } }Q[maxn]; bool cmp_id(const Query &a,const Query &b) { return a.id<b.id; } void init() { scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&col[i]); int limit=(int)sqrt((double)n+0.5); for(int i=1;i<=n;++i) pos[i]=(i-1)/limit+1;//左端点分块 for(int i=1;i<=m;++i) { scanf("%d%d",&Q[i].l,&Q[i].r); Q[i].id=i; } sort(Q+1,Q+m+1); } void modify(int p,LL &ans,int add) { ans=ans+2*add*f[col[p]]+1; f[col[p]]+=add; } void solve() { LL ans=0; int l=1,r=0; for(int i=1;i<=m;++i) { if(r<Q[i].r) { for(r=r+1;r<Q[i].r;++r) modify(r,ans,1); modify(r,ans,1); } if(Q[i].l<l) { for(l=l-1;Q[i].l<l;--l) modify(l,ans,1); modify(l,ans,1); } if(Q[i].r<r) for(;Q[i].r<r;--r) modify(r,ans,-1); if(l<Q[i].l) for(;l<Q[i].l;++l) modify(l,ans,-1); if(Q[i].l==Q[i].r) { Q[i].a=0,Q[i].b=1; continue; } Q[i].a=ans-(Q[i].r-Q[i].l+1),Q[i].b=(LL)(Q[i].r-Q[i].l+1)*(Q[i].r-Q[i].l); Q[i].modify(); } sort(Q+1,Q+m+1,cmp_id); for(int i=1;i<=m;++i) printf("%lld/%lld\n",Q[i].a,Q[i].b); } int main() { init(); solve(); return 0; } ``` Refrence: [http://foreseeable97.logdown.com/posts/158522-233333](http://foreseeable97.logdown.com/posts/158522-233333) [http://ydcydcy1.blog.163.com/blog/static/21608904020134411543898/](http://ydcydcy1.blog.163.com/blog/static/21608904020134411543898/) [http://vawait.com/manhattanmst/](http://vawait.com/manhattanmst/) [http://blog.csdn.net/huzecong/article/details/8576908](http://blog.csdn.net/huzecong/article/details/8576908)\]