codevs2777 栅栏的木料

题目描述 Description

农民John准备建一个栅栏来围住他的牧场。他已经确定了栅栏的形状，但是他在木料方面有些问题。当地的杂货储存商扔给John一些木板，而John必须从这些木板中找出尽可能多所需的木料。

当然，John可以切木板。因此，一个9英尺的木板可以切成一个5英尺和一个4英尺的木料 (当然也能切成3个3英尺的，等等)。John有一把（完美的）梦之锯，因此他在切木料时，不会有木料的损失。

所需要的栅栏长度可能会有重复（比如，一个3英尺和另一个3英尺长的栅栏可能同时都需要）。所需要的木料规格都已经给定。你不必切出更多木料，那没有用。

输入描述 Input Description

第1行: N (1 <= N <= 50), 表示提供的木板的数目

第2行到第N+1行: N行，每行包括一个整数，表示各个木板的长度。

第N+2行: R (1 <= R <= 1023), 所需木料的数目

第N+3行到第N+R+1行: R行，每行包括一个整数(1 <= ri <= 128)表示所需木料的长度。

输出描述 Output Description

只有一行，一个数字，表示能切出的最多的所需木料的数目。当然，并不是任何时候都能切出所有所需木料。

样例输入 Sample Input

4
30
40
50
25
10
15
16
17
18
19
20
21
25
24
30

 

样例输出 Sample Output

7

数据范围及提示 Data Size & Hint

USACO译题 4.1.2

 

解题思路：

一、一个发现：

我们很容易就可以发现若能满足a块木料，则必能满足最小的a块木料；所以当我们将木料排序之后，被切出的木料将在一个前缀区间里，所以我们发现这个答案是具有单调性的，所以我的第一直觉是二分答案，判断前a块木料是否能被切出。

那么如何判断呢？我的第一直觉就是贪心。

二、尝试贪心：

1、策略：我的贪心策略是把最大的木料给能切出它的最小的木板切，直到木料用尽或不存在这样的木板为止。

2、反例：可是当我兴高采烈把程序交上去时，才发现它只能得75分。（竟然得了75分！）反例来自当最大的木料与最小的木板之差小于最小的木料时，它会造成冗余的浪费。如：用6,7切出2,3,3,5，这样贪心会得到3，虽然实际上它显然是4。

3、继续尝试，我们却发现我们想不到更好的贪心了。。

三、DFS：

于是我又开始尝试暴力搜索，但是在DFS的时候却忘了一得到的结论，实际上它能很好地缩小搜索树的形态的。

我当时的做法是：暴力枚举每个木料，令其被N个木板切或不切，直到搜出最优解。

想到的一个最优化剪枝是若当前剩余的可用木板（不小于尚未被切的最小木料）的总和小于更新更优解所需的木料，则剪枝；这样的话，需要我们按照木料从小到大的数据搜索。

这样的话。。只能得67分，还不如贪心呢。

当然。。这其实也很有可能是因为我犯了一个错误，就是实际上，我每次判断当前剩余可用木板实际上都应用O(n)的时间复杂度扫一遍才对，但我在这里。。犯了一个比较奇葩的错误，导致实际上削弱了这个剪枝的强度。

四、对DFS的改进：

1、来自一的改进，将N个木板升序排序，从第一个木板开始搜索，不存在不被切的状态了，这样搜索树的深度就是答案了。

2、来自二的改进，先贪出一个较优解，再用这个较优解做最优化剪枝。

3、来自三中的剪枝可以得以继续延用。

4、来自题解的剪枝：我们（题解）发现，这个题木料一共有1024块，但却落在[1,128]∩N的范围内，这说明有很多块木料会是一样的，DFS的时候会算出它们的排列，这浪费了我们大量时间却没有任何意义。所以我们干脆让它有序好了，即令若干块长度相同的木料被切的木板序号不下降或不上升即可。

5、但是有了上述四个剪枝以后，我们还是会TLE，所以题解又提供了一个蛋疼剪枝，就是将每一个状态的木板也排序，对于若干个相同的木板，只试切第一个即可，即若令剪枝3中序列不下降，就切编号最小的那个；若令剪枝3中序列不上升，就切编号最大的那个。当然实际上这个剪枝之所以够强，我想主要是由于数据的原因。

那么有了以上五个剪枝，我们是可以A掉这道题了的，但尤其是第四个剪枝，难免有卡数据的嫌疑。实际上，我们还有真正优秀的算法，并不需要这种来自数据的剪枝。

五、迭代加深搜索：

1、让我们继续沿用一中的思路，如果是二分+DFS判定呢？对！这样一来，搜索最优解就转变成了搜索可行解，这就为我们提供了新的优化方向。

2、四中改进1,2,3,4显然可以继续沿用，当然如果已贪出较优解就不需要再二分了，但这还是不够的，那么更牛的优化来自哪里呢？是来自搜索顺序的，搜索顺序对搜索最优解并不能造成太大的影响，但对于搜索可行解可就大不一样了，改变搜索顺序往往能起到非常惊人的效果。比如本题中，先切大木料显然要比先切小木料更优！这样的话我们发现剪枝3可以做某种程度的改动了，即其并不再需要每次都O(n)的扫描了，而是再切的时候判断剩余木料和最小木料的大小即可，因为最小木料一定是最后被切出来的。这样，究竟是使它增强了还是减弱了呢。。。还真不好说，毕竟搜索顺序都改变了。

3、但是这里同样需要注意一个问题，就是再搜索可行解的时候，需要中间强行return，这时千万不要忘了回溯，我在这个地方蛋疼了好久。

综，至此我们已经非常完美的解决本题了，即使是最大数据，运行时间也在0.004s.

 

#include<iostream>
using namespace std;
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
int ans,N,M,s[2000],a[100],b[2000],sum;
inline bool dfs(int x,int pred){
    if(!x)return 1;
    if(sum<s[x])return 0;
    sum-=b[x];
    for(int i=x<ans&&b[x]==b[x+1]?pred:0;i<N;++i){
        if(i<N&&a[i]==a[i+1])continue;
        if(a[i]>=b[x]){
            a[i]-=b[x];
            if(a[i]<b[1])sum-=a[i];
            if(dfs(x-1,i)){
                if(a[i]<b[1])sum+=a[i];
                sum+=b[x];
                a[i]+=b[x];
                return 1;
            }
            if(a[i]<b[1])sum+=a[i];
            a[i]+=b[x];
        }
    }
    sum+=b[x];
    return 0;
}
inline bool check(short m){
    short x,minx,j,i,tmp[104];
    for(i=0;i<N;++i)tmp[i]=a[i];
    for(i=m;i;--i){
        x=-1,minx=0x7fff;
        for(j=0;j<N;++j)
            if(tmp[j]>=b[i]&&tmp[j]<minx){
                minx=tmp[j];
                x=j;
            }
        if(x>-1)tmp[x]-=b[i];
        else return 0;
    }
    return 1;
}
char * ptr=(char *)malloc(1000000);
inline void in(int &x){
    while(*ptr<'0'||*ptr>'9')++ptr;
    x=0;
    while(*ptr>47&&*ptr<58)x=x*10+*ptr++-'0';
}
int main(){
    fread(ptr,1,1000000,stdin);
    in(N);
    int i;
    for(i=0;i<N;++i)in(a[i]),sum+=a[i];
    in(M);
    for(i=1;i<=M;++i)in(b[i]);
    sort(b+1,b+M+1);
    sort(a,a+N);
    b[M+1]=-1;
    for(i=1;i<=M;++i)s[i]=s[i-1]+b[i];
    short l=0,r=M;
    if(check(r)){
        printf("%hd",r);
        return 0;
    }
    while(r-l>1){
        short m=(l+r)>>1;
        if(check(m))l=m;
        else r=m;
    }
    ans=r;
    while(ans<=M&&dfs(ans,N))++ans;
    printf("%d",ans-1);
}