P3747 相逢是问候欧拉定理+线段树

巨难!!!

去年六省联考唯一的一道黑牌题，我今天一天从早到晚，把它从暴力15分怼到了90分，极端接近正解了。

bzoj上A了，但是洛谷和loj上面就不行。伪正解会T，奇奇怪怪的类正解会WA。。

那么，网上的题解多得很，我就不细说了。

着重说一下我的理解感受和坑点。

1.不愧是黑牌题，显得十分的繁杂(并不)。

首先要用到扩展欧拉定理，φ()，还有线段树辅助，快速幂，大量奇奇怪怪的小细节.....要人命啊。

2.根据之前那题上帝集合，我们可以得知当一个数被操作很多很多很多很多次之后就不变了，成为一个常数。

3.我们首先算出这个次数：phi()到1就是了。特别的，phi(2)=1之后还要再写个phi(1)=1，否则会错。证明网上也很多，我比较推崇这个。(该证明并没有被再次找到......)

4.第一个坑点来了：(c^c^i)%p ≠ (c^((c^i)%p))%p 什么意思呢？意思就是你改一次之后不能接着改第二次，会WA。打暴力时就是这一点卡停了我的思路。如何解决：真·暴力！从初始值a[i]开始重新改起。我：......

5.解决了上面那一件事之后，我们开始着手研究扩展欧拉公式降次的那个式子。把(c^c^i)%p化开之后再一步步推下去，最后我们可以得到这么一个可爱的函数：

 1 LL cal(int k,int t)
 2 {
 3     while(t>0)
 4     {
 5         if(k>=p[t]) k=qpow(c,k%p[t]+p[t],p[t-1]);
 6         else k=qpow(c,k,p[t-1]);
 7         t--;
 8     }
 9     return k;
10 }

初等cal函数

看，它是如此的Cuty and goffy(?)，这里有个p[]数组，是之前预处理出来的每一层phi(P)。

6.然后加上一个线段树，它滋磁区间求和，区间修改(每次修改到底)，并记录一个times表示修改的次数。

7.当某次修改时，如果times已经=cnt了，就return。否则修改，update。

8.开开心心的一交，又WA又T......

9.仔细观察发现：那个可爱的cal中的判断条件if(k>=p[t])显然有误。原因是计算卡速米(kasumi)时已经把结果%p[t-1]了，而上一层的p[t-1]就是这一层的p[t]，于是那个if不会触发。

10.翻看胡雨菲的题解，发现他把kasumi改了下，在kasumi里记录flag，保证了正确性。

11.交上去：T了两个点。90分，bzojAC。本着不放弃不抛弃的原则继续调试，发现要优化掉kasumi的时间复杂度，预处理一下。

12.那么怎么确定flag呢？①也预处理好。②每次在cal里记录一个tag，然后用log c p[t]<=tag来判定。

13.首先写①，写炸了。然后写②，解决了T但是又WA了，依旧90分。然后转①，继续炸。但是理论上两种方法都能AC。

14.over。

WA的代码就不放了。放个11.中的代码。

  1 #include <cstdio>
  2 #include <iostream>
  3 #include <algorithm>
  4 using namespace std;
  5 typedef long long LL;
  6 const int N = 50010;
  7 LL a[N],sum[N<<2],times[N<<2],p[N],c,P,cnt;
  8 inline LL read()
  9 {
 10     LL ans=0,f=1;char ch=getchar();
 11     while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
 12     while(ch>='0'&&ch<='9') {ans=ans*10;ans+=(ch-'0');ch=getchar();}
 13     return ans*f;
 14 }
 15 inline LL qpow(LL a,LL b,LL m,bool &flag)
 16 {
 17     LL ans=1;
 18     flag=0;
 19     while(b)
 20     {
 21         if(b&1)
 22         {
 23             ans=ans*a;
 24             if(ans>=m) flag=1,ans%=m;
 25         }
 26         b=b>>1;
 27         a=a*a;
 28         if(a>=m) flag=1,a%=m;
 29     }
 30     return ans;
 31 }
 32 inline LL phi(LL x)
 33 {
 34     LL ans=x;
 35     for(register int i=2;i*i<=x;i++)
 36     {
 37         if(x%i==0)
 38         {
 39             while(x%i==0) x/=i;
 40             ans=(ans/i)*(i-1);
 41         }
 42     }
 43     if(x>1) ans=(ans/x)*(x-1);
 44     return ans;
 45 }
 46 inline void pre()
 47 {
 48     p[0]=P;
 49     while(P>1)
 50     {
 51         p[++cnt]=phi(P);
 52         P=p[cnt];
 53     }
 54     p[++cnt]=1;
 55     P=p[0];
 56     return;
 57 }
 58 inline void update(LL l,LL r,LL o)
 59 {
 60     sum[o]=sum[o<<1]+sum[o<<1|1];
 61     times[o]=min(times[o<<1],times[o<<1|1]);
 62     return;
 63 }
 64 inline void build(LL l,LL r,LL o)
 65 {
 66     if(l==r)
 67     {
 68         sum[o]=a[r]%P;
 69         return;
 70     }
 71     int mid=(l+r)>>1;
 72     build(l,mid,o<<1);
 73     build(mid+1,r,o<<1|1);
 74     update(l,r,o);
 75     return;
 76 }
 77 inline LL cal(int k,int t)
 78 {
 79     bool flag=(k>=p[t]);
 80     while(t>0)
 81     {
 82         if(flag) k=qpow(c,k%p[t]+p[t],p[t-1],flag);
 83         else k=qpow(c,k,p[t-1],flag);
 84         t--;
 85     }
 86     return k;
 87 }
 88 inline void add(int L,int R,int l,int r,int o)
 89 {
 90     if(times[o]>=cnt) return;
 91     if(l==r)
 92     {
 93         times[o]++;
 94         sum[o]=cal(a[r],times[o]);
 95         return;
 96     }
 97     int mid=(l+r)>>1;
 98     if(L<=mid) add(L,R,l,mid,o<<1);
 99     if(mid<R) add(L,R,mid+1,r,o<<1|1);
100     update(l,r,o);
101     return;
102 }
103 inline LL ask(int L,int R,int l,int r,int o)
104 {
105     if(L<=l&&r<=R) return sum[o];
106     if(R<l||r<L) return 0;
107     int mid=(l+r)>>1;
108     return (ask(L,R,l,mid,o<<1)+ask(L,R,mid+1,r,o<<1|1))%P;
109 }
110 int main()
111 {
112     LL m,n;
113     //scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&P,&c);
114     n=read();m=read();P=read();c=read();
115     for(register int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();//scanf("%lld",&a[i]);
116     pre();
117     build(1,n,1);
118     LL flag,x,y;
119     for(register int i=1;i<=m;i++)
120     {
121         //scanf("%d%d%d",&flag,&x,&y);
122         flag=read();
123         x=read();y=read();
124         if(flag) printf("%lld\n",ask(x,y,1,n,1));
125         else add(x,y,1,n,1);
126     }
127     return 0;
128 }