树状数组

树状数组专题

[update]网上蒯了个区间加区间求和的板子，姑且先放着吧

 1 inline void add(int p, LL x) {
 2     for(int i = p; i <= n; i += i & -i) {
 3         sum1[i] += x;
 4         sum2[i] += x * p;
 5     }
 6 }
 7 inline void range_add(int l, int r, LL x) {
 8     add(l, x);
 9     add(r + 1, -x);
10 }
11 inline LL ask(int p) {
12     LL ans = 0;
13     for(int i = p; i; i -= i & -i) {
14         ans += (p + 1) * sum1[i] - sum2[i];
15     }
16     return ans;
17 }
18 inline LL range_ask(int l, int r) {
19     return ask(r) - ask(l - 1);
20 }

树状数组区间加区间求和

[update]树状数组第i位存的是[i - lowbit(i) + 1, i]的和。

树状数组上二分找第k个：

inline int getKth(int k) {
    int ans = 0, t = pw[n];
    while(t >= 0) {
        if(((ans | (1 << t)) <= n) && ta[ans | (1 << t)] < k) {
            k -= ta[ans | (1 << t)];
            ans |= (1 << t);
        }
        t--;
    }
    return ans + 1;
}

代码

前言：

树状数组就算不理解也要强行背下来(很好背)，以后做题就会发现根本离不开它。

首先，什么是树状数组？

①是一种数据结构

②支持单点修改，区间求和。魔改后会支持区间加，单点求和，以及进化版的二维树状数组等等，在此按下不表。

③插入O(log₂n),查询O(log₂n)

原理是关于二进制的。我没怎么理解。

那么先放最基础的模板。

 1 #define lowbit(x) (x&(-x))
 2 int tree[100010],n;
 3 void add(int x,int v)///给x加上v,初始化
 4 {
 5     for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) tree[i]+=v;
 6     return;
 7 }
 8 int getsum(int x)///查询x处的前缀和
 9 {
10     int ans=0;
11     for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i)) ans+=tree[i];
12     return ans;
13 }
14 int ask(int l,int r)///查询区间和
15 {
16     if(l>r) return 0;
17     return getsum(r)-getsum(l-1);
18 }

树状数组基础模板

十分之基础

接下来就是一些例题与拓展应用。

P3368 模板树状数组2

这道题要区间加，单点差。考虑到这是个树状数组模板题(???????)，我们就考虑差分。

差分：b[i]=a[i]-a[i-1];

对于[l,r]+v,只需b[l]+v,b[r+1]-v即可

a[i]=∑(b[1]...b[i]);

那么我们就要对b[]实施单点改，区间求和。使用树状数组：

 1 #include <cstdio>
 2 #define lowbit(a) (a&(-a))
 3 using namespace std;
 4 typedef long long LL;
 5 const int N = 500010;
 6 LL a[N],tree[N],n;
 7 void add(int x,int v)
 8 {
 9     for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) tree[i]+=v;
10     return;
11 }
12 LL getsum(int x)
13 {
14     LL ans=0;
15     for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) ans+=tree[i];
16     return ans;
17 }
18 LL ask(int l,int r)
19 {
20     if(l>r) return 0;
21     return getsum(r)-getsum(l-1);
22 }
23 int main()
24 {
25     int m,x,y,k,flag;
26     scanf("%d%d",&n,&m);
27     for(int i=1;i<=n;i++)
28     {
29         scanf("%d",&a[i]);
30         add(i,a[i]-a[i-1]);
31     }
32     while(m--)
33     {
34         scanf("%d",&flag);
35         if(flag==1)
36         {
37             scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
38             add(x,k);
39             add(y+1,-k);
40         }
41         else
42         {
43             scanf("%d",&x);
44             printf("%lld\n",ask(1,x));
45         }
46     }
47     return 0;
48 }

AC代码在此

（当然也可以用线段树水过）

 1 #include <cstdio>
 2 using namespace std;
 3 const int N = 500010;
 4 typedef long long LL;
 5 LL sum[4*N],tag[4*N];
 6 void down(int l,int r,int o)
 7 {
 8     if(tag[o])
 9     {
10         tag[o<<1]+=tag[o];
11         tag[o<<1|1]+=tag[o];
12         int mid=(l+r)>>1;
13         sum[o<<1]+=tag[o]*(mid-l+1);
14         sum[o<<1|1]+=tag[o]*(r-mid);
15         tag[o]=0;
16     }
17     return;
18 }
19 void update(int l,int r,int o)
20 {
21     sum[o]=sum[o<<1]+sum[o<<1|1];
22     return;
23 }
24 void build(int l,int r,int o)
25 {
26     if(l==r)
27     {
28         scanf("%lld",&sum[o]);
29         return;
30     }
31     int mid=(l+r)>>1;
32     build(l,mid,o<<1);
33     build(mid+1,r,o<<1|1);
34     update(l,r,o);
35     return;
36 }
37 void add(int L,int R,int v,int l,int r,int o)
38 {
39     if(L<=l&&r<=R)
40     {
41         sum[o]+=v;
42         tag[o]+=v;///this!一开始我忘写了
43         return;
44     }
45     int mid=(l+r)>>1;
46     down(l,r,o);
47     if(L<=mid) add(L,R,v,l,mid,o<<1);
48     if(R>mid) add(L,R,v,mid+1,r,o<<1|1);
49     update(l,r,o);
50     return;
51 }
52 LL ask(int L,int R,int l,int r,int o)
53 {
54     if(L<=l&&r<=R) return sum[o];
55     if(r<L||R<l)   return 0;
56     down(l,r,o);
57     int mid=(l+r)>>1;
58     return ask(L,R,l,mid,o<<1)+ask(L,R,mid+1,r,o<<1|1);
59 }
60 int main()
61 {
62     int m,n,flag,x,y,k;
63     scanf("%d%d",&n,&m);
64     build(1,n,1);
65     while(m--)
66     {
67         scanf("%d",&flag);
68         if(flag==1)
69         {
70             scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
71             add(x,y,k,1,n,1);
72             //for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",ask(i,i,1,n,1));
73             //printf("\n");
74         }
75         else
76         {
77             scanf("%d",&x);
78             printf("%lld\n",ask(x,x,1,n,1));
79         }
80     }
81     return 0;
82 }