Live Archive 3882 And Then There Was One

　　【原题链接】

　　约瑟夫环，普通链表法O(nk)复杂度无法承受，但是可以有O(n)的算法。

　　以下摘自百度百科：

　　无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm），当n，m非常大（例如上百万，上千万）的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

　　为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

　　问题描述：n个人（编号0~(n-1）），从0开始报数，报到m-1的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

　　我们知道第一个人（编号一定是（m-1）%n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）：

　　k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2

　　并且从k开始报0。

　　现在我们把他们的编号做一下转换：

　　k --> 0

　　k+1 --> 1

　　k+2 --> 2

　　...

　　...

　　k-3 --> n-3

　　k-2 --> n-2

　　序列1：0,1,2,3 … n-2,n-1

　　序列2：0,1,2,3 … k-2,k，…，n-2,n-1

　　序列3：k,k+1,k+2,k+3，…，n-2,n-1,1,2,3，…，k-2

　　序列4：0,1,2,3 …，5,6,7,8，…，n-3,n-2

　　变换后就完完全全成为了（n-1）个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：

　　∵ k=m%n;

　　∴ x' = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大于n

　　∴x'= (x+ m%n)%n = (x+m)%n

　　得到 x‘=(x+m)%n

　　如何知道（n-1）个人报数的问题的解? 对，只要知道（n-2）个人的解就行了。（n-2）个人的解呢？当然是先求（n-3）的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

　　令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n].

　　递推公式：

　　f[1]=0;

　　f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

 　　

　　也就是说，假设最后为第n层，只剩下编号0（人数为1），然后向上推一层，那么(f[i-1] + m) % i就是第n层0编号在第n-1层的位置，再向上推到第一层恢复为原来序列，那么此时推到的位置就是最后的赢家的真实位置了。

　　ps：《训练指南》里的代码好像过不了这题。

#include <stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int n, k, m;
    while(cin >> n >> k >> m)
    {
        if( n==0 && k==0 && m==0 ) break;
        int cur = 0;
        for(int i = 2; i < n; ++ i)
            cur = (cur + k) % i;
        cout << (cur + m) % n + 1 << endl;
    }
    return 0;
}