【杨氏定理+钩子公式】初步

首先，我们来看一个最简单的问题：

我在学校门口卖奶茶，奶茶一元一杯。今天下午开门的时候，我发现找零的钱忘带了。

这时候来了 2n 个人，其中 n 个人身上只有一张一元钱，另外 n 个人身上只有一张两元钱。我就让他们排成一队，然后用这 n 个人的一元钱来找给付两元的人。当然，排队的时候得保证每次来一个付两元的人的时候都有的找。

假设所有拿一元的人和拿两元的人都没有分别，我现在想知道，他们有多少种排队方式？

这个问题的答案大家都知道，是 Cat[n]，即第 n 个卡特兰数（Catalan number）。不过我现在的问题是如下的升级问题。

升级1：条件同上，但这时候来的人数为 3n ，其中 n 个人只有一张一元钱，n 个只有一张两元钱， n 个只有一张三元钱（假设题设的每种面值的钞票均存在）。我仍然让他们排成一队，只要有付两元的就用一元找，付三元的就用两元找。同样得保证每当需要找钱时有对应的钱可以找。求他们有多少种排队方式？

以及最终问题

升级2：条件同上，但这时候来的人数为 mn，其中拥有面值为一元至 m 元的人均有 n 个。每当支付 k （）元时用 k-1 面值的钞票去找零。求合法排队方式数。

 

先看例题：【HihoCoder1480：矩阵填数 】

题意：将N*M个整数填入N*M的矩阵中，要求当前位置的数小于左边和上面的数，求方案数。

有【钩子公式】：

 对于给定形状，不同的杨氏矩阵的个数为：n！除以每个格子的钩子长度加1的积。 其中钩子长度定义为该格子 右边的 格子数和 它上边的格子数之和。

 则易得此题公式：

ans=fac[n*m];
for(int i=1;i<=n;i++) 
    for(int j=1;j<=m;j++){
       ans=ans*rev[i+j-1]%Mod;    
}

 

【关键】：这个矩阵填数和卖奶茶的关系：

加入3*N个人买奶茶： N个一块钱的+N个两块钱+N个三块钱，给他们的排队队伍编号1，2，3 ...  3*N。然后把这3*N个人拿去填充矩阵。

具体的，一块钱的在第一排，两块钱的在第二排，三块钱的在第三排。 那么他们必须满足：先来的在左边，小面额的在上边。

即当前位置是数小于上面的和左边的。这样以来这个解就可以用钩子定理来求解了。

 

 

此外：

杨氏矩阵还有递推公式：f[n]=f[n-1]+(n-1)*f[n-2]。

还可以用卡特兰数表示：第个卡特兰数。