「Poj1845」Sumdiv 解题报告

题面戳这里

啥都别看，只是求

\(a^b\)所有的因数的和

思路：

真没想到！

其实我们可以先将\(a^b\)分解成质因数的

因为\(a^b\)的因数肯定是\(a^b\)的质因数在一定的条件下相乘而成的

然后组合一下

正解！！！

h^ovny：走开！别误导别人！

来一波公式：

\(a=\Pi^n_{i=1}p[i]^{c[i]}\)

\(a^b=\Pi^n_{i=1}p[i]^{c[i]*b}\)

所有因数的和：

\(Ans=\Pi_{i=1}^n\Sigma^{k[i]}_{j=0}p[i]^j\)

\(\Pi\) ：读作Pi，是\(\pi\)的大写，表示累乘

\(\Sigma\) ：读作Sigma，是\(\sigma\)的大写，表示累加

现在的问题就变成了如何求：

\(\Sigma_{j=0}^{k[i]}\)

展开来写乘：

\((1+p+p^2+p^3+…+p^k)\)

用分治法的思想求解

当k为奇数时：

\(f(k)=1+p+p^2+p^3+…+p^k\)
​ \(= (1+p+…+p^{\frac k 2})+(p^{\frac k 2+1}+…+p^k)\)
​ \(= (1+p+…+p^{\frac k 2})+p^{\frac k 2+1}*(1+p+…+p^{\frac k 2})\)
​ \(= (p^{\frac k 2+1}+1)*(1+p+…+p^{\frac k 2})\)

当k为偶数时

\(f(k)=f(k-1)*p^k\)

然后配合快速幂%9901

正解！！！

人已憔悴

Code：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define ll long long
#define Mod 9901
using namespace std;
ll a[30];
ll s[30];
bool b[10010];
ll n,m;
int t;
ll ans=1;
int read()
{
	int s=0;
	char c=getchar();
	while(!isdigit(c))
		c=getchar();
	while(isdigit(c))
	{
		s=(s<<1)+(s<<3)+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return s;
}
ll quickPow(ll a,ll b)
{
	ll res=1;
	while(b>0)
	{
		if(b&1)
			res=(res*a)%Mod;
		b>>=1;
		a=(a*a)%Mod;
	}
	return res;
}
ll work(ll p,ll k)
{
	if(k==1)
		return (p+1)%Mod;
	if(k==0)
		return 1;
	if(k&1)
		return work(p,k/2)*(quickPow(p,k/2+1)+1)%Mod;
	return ((work(p,k/2-1)*(quickPow(p,k/2)+1))%Mod+quickPow(p,k))%Mod;
}
int main()
{
	int i,j;
	n=read();m=read();
	if(n%2==0)
	{
		a[++t]=2;
		while(n%2==0)
		{
			s[t]++;
			n/=2;
		}
	}
	for(i=3;i*i<=n;i+=2)
		if(!b[i])
		{
			if(n%i==0)
			{
				a[++t]=i;
				while(n%i==0)
				{
					s[t]++;
					n/=i;
				}
			}
			j=i+i;
			while(j*j<=n)
			{
				b[j]=1;
				j+=i;
			}
		}
	if(n>1)
	{
		a[++t]=n;
		s[t]=1;
	}
	for(i=1;i<=t;i++)
		ans=(ans*work(a[i],s[i]*m))%Mod;
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}