递归——汉诺塔和树的遍历

递归是把问题转化为规模缩小的同类问题，然后迭代调用函数（或过程）求得问题的解。递归函数就是直接或间接调用自身的函数。

递归两要素：递归关系和递归边界(终止条件)，递归关系确定了迭代的层次结构，需要深入了解并分解问题；终止条件保证了程序的有穷性。

递归的应用有很多，常见的包括：阶乘运算、斐波那契数列、汉诺塔、数的遍历，还有大名鼎鼎的快排等等。理论上，递归问题都可以由多层循环来实现。递归的每次调用都会消耗一定的栈空间，效率要稍低于循环实现，但递归使函数更加简洁，极大地增加了程序的可读性。这里介绍汉诺塔和树的遍历两种应用。

汉诺塔（hanoi）

有三根相邻的柱子，标号为A,B,C，A柱子上从下到上按金字塔状叠放着n个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子C上，并且每次移动同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子上方。

递归规则：先把a上的n-1个搬到b上，再把a上第n个搬到c，然后把b上的n-1个搬到c上；终止条件是n=0。

/*
 *作者：侯凯
 *说明：目标：把n个盘子从a往c搬
 *日期：2013-12-18
 */
void hanoi(int n, char a,char b,char c)
{
    if(n>0)
    {
        hanoi(n-1,a,c,b);
        cout<<a<<"->"<<c<<endl;
        hanoi(n-1,b,a,c);
    }
}

void main()
{
    hanoi(4,'A','B','C');
}

这样程序便十分简洁的实现了看似复杂的功能，下面再看一个经典的问题：遍历二叉树。

二叉树的遍历是指从根节点出发，按照某种次序依次访问二叉树中的所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。遍历方法有四种：前序遍历（先访问根节点，然后前序遍历左子树，最后前序遍历右子树）、中序遍历（左子树->根节点->右子树）、后序遍历（左子树->右子树->根节点）和层序遍历（每一层自左向右，各层自上向下访问）。

可见前三种遍历方法的定义就体现了递归的思想，算法实现如下：

//前序遍历
void PreorderTra(BiTree T)
{
    if(T == NULL)
    {
        return;
    }
    printf("%c",T->data);//输出结点数据，可更改为其他对结点的操作
    PreorderTra(T->lchild);//前序遍历左子树
    PreorderTra(T->rchild);//前序遍历右子树
}

//中序遍历
void InorderTra(BiTree T)
{
    if(T == NULL)
    {
        return;
    }
    InorderTra(T->lchild);//中序遍历左子树
    printf("%c",T->data);//输出结点数据，可更改为其他对结点的操作
    InorderTra(T->rchild);//中序遍历右子树
}

//后序遍历
void PostorderTra(BiTree T)
{
    if(T == NULL)
    {
        return;
    }
    PostorderTra(T->lchild);//后序遍历左子树
    PostorderTra(T->rchild);//后序遍历右子树
    printf("%c",T->data);//输出结点数据，可更改为其他对结点的操作
}

其中二叉树的结构如下：

typedef struct BiTNode
{
    ElemType data;
    struct BiTNode *lchild,*rchild;
}BitNode,*BiTree;