「NOIP2018模拟9.10」公约数 - 找规律 - gcd

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公约数

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Detailed Limits

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### Description 给定一个正整数$n$，在$[1,n]$的范围内，求出有多少个无序数对$(a,b)$满足$gcd(a,b) = a$ $xor$ $b$。

Input

输入共一行，一个正整数\(n\)。

Output

输出共一行，一个正整数表示答案。

Sample Input

3

Sample Output

1

Data Constraint

对于\(30\)%的数据满足\(n\leq1000\)
对于\(60\)%的数据满足\(n\leq1\times10^{5}\)
对于\(100\)%的数据满足\(n\leq1\times10^{7}\)

Hint

只有\((2,3)\)满足要求。

分析

我在打表的时候得出一个结论：满足条件的\(gcd(a,b) = a\)^\(b = a-b\) (设\(a\)为较大数)
此时\(a\)、\(b\)都是\(a-b\)也就是\(gcd(a,b)\)的倍数
我们用\(i\)枚举\(a-b\)，用\(j\)枚举\(a\)，此时\(j\)始终为\(i\)的倍数
这时\(a=j\)，\(b=j-i\)
那么\(a\)^\(b = a-b\)就等价于\(j\)^\((j-i) = i\)
枚举即可 复杂度\(O(nlogn)\)

代码

#include<cstdio>
#include<cctype>
#define rg register
#define int long long 
using namespace std;
inline int read(){
	rg int f=0,x=0;
	rg char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) f|=(ch=='-'),ch=getchar();
	while(isdigit(ch)) 	x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	return f?-x:x;
}

int n,ans;
signed main() {
	n=read();
	for(rg int i=1;i<=n;++i)//枚举(a-b) 
		for(rg int j=(i<<1);j<=n;j+=i)//枚举 a
			ans+=((j^(j-i))==i);
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}