【刷题】洛谷 P3834 【模板】可持久化线段树 1（主席树）
题目背景
这是个非常经典的主席树入门题——静态区间第K小
数据已经过加强，请使用主席树。同时请注意常数优化
题目描述
如题，给定N个正整数构成的序列，将对于指定的闭区间查询其区间内的第K小值。
输入输出格式
输入格式：
第一行包含两个正整数N、M，分别表示序列的长度和查询的个数。
第二行包含N个正整数，表示这个序列各项的数字。
接下来M行每行包含三个整数l, r, kl,r,k , 表示查询区间[l, r][l,r] 内的第k小值。
输出格式：
输出包含k行，每行1个正整数，依次表示每一次查询的结果
输入输出样例
输入样例#1：
5 5
25957 6405 15770 26287 26465
2 2 1
3 4 1
4 5 1
1 2 2
4 4 1
输出样例#1：
6405
15770
26287
25957
26287
说明
数据范围：
对于20%的数据满足：\(1 \leq N, M \leq 10\)
对于50%的数据满足：\(1 \leq N, M \leq 10^3\)
对于80%的数据满足：\(1 \leq N, M \leq 10^5\)
对于100%的数据满足：\(1 \leq N, M \leq 2\cdot 10^5\)
对于数列中的所有数\(a_i\) ，均满足\(-{10}^9 \leq a_i \leq {10}^9\)
样例数据说明：
N=5，数列长度为5，数列从第一项开始依次为\([25957, 6405, 15770, 26287, 26465 ]\)
第一次查询为\([2, 2]\) 区间内的第一小值，即为6405
第二次查询为\([3, 4]\) 区间内的第一小值，即为15770
第三次查询为\([4, 5]\) 区间内的第一小值，即为26287
第四次查询为\([1, 2]\) 区间内的第二小值，即为25957
第五次查询为\([4, 4]\) 区间内的第一小值，即为26287
题解
主席树
这道题当作是我学习主席树的开端吧，模板题
主席树维护的是区间，但这个区间不是下标（即位置）的区间，而是权值的区间
在一个版本中
- 区间\([l,l]\)上记录的是\(l\)这个数出现了多少次
- 区间\([l,r]\)上记录的就是\(l,l+1,...,r-1,r\)每个数出现次数之和了
所以要先离散化
主席树说白了就是给一个长度为\(n\)的序列建\(n\)棵权值线段树，第\(i\)棵线段树只存了\(a_1,a_2,a_3,...a_{i-1},a_i\)
这样我们对于本题这样的静态查询第\(k\)小，就可以差分了（想一想原理）
然后发现相邻两棵线段树改变的只有一条路径上的值，其它的值都是一样的，那么为了节省空间，我们把那些值一样的存在同一个节点（即共用节点），就不用再开节点了
同时，我们称第\(i\)棵线段树为第\(i\)个版本
差分的话，就是
如果要查询\([l,r]\)中的信息，那么我们看
第\(r\)棵线段树记录的是\(a_1,a_2,...,a_r\)中的信息
第\(l-1\)棵线段树记录的是\(a_1,a_2,...a_{l-1}\)中的信息
它们相减后，就变成\(a_l,a_{l+1},...,a_r\)中的信息了
而它们能够相减的依据是：每一棵线段树每一个节点维护的内容是一样的（只是其中的值不一样而已）
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define db double
#define ld long double
#define Mid ((l+r)>>1)
#define lson l,Mid
#define rson Mid+1,r
const int MAXN=200000+10;
int n,m,A[MAXN];
struct ChairMan_Tree{
int sum[MAXN<<5],lc[MAXN<<5],rc[MAXN<<5],cnt,root[MAXN];
inline void init()
{
memset(sum,0,sizeof(sum));
memset(lc,0,sizeof(lc));
memset(rc,0,sizeof(rc));
cnt=0;
}
inline void Build(int &rt,int l,int r)
{
rt=++cnt;
sum[rt]=0;
if(l==r)return ;
Build(lc[rt],lson);
Build(rc[rt],rson);
}
inline void Insert(int &rt,int l,int r,int last,int pos)
{
rt=++cnt;
lc[rt]=lc[last];
rc[rt]=rc[last];
sum[rt]=sum[last]+1;
if(l==r)return ;
else
{
if(pos<=Mid)Insert(lc[rt],lson,lc[last],pos);
else Insert(rc[rt],rson,rc[last],pos);
}
};
inline int Query(int now,int last,int l,int r,int k)
{
if(l==r)return l;
else
{
int t=sum[lc[now]]-sum[lc[last]];
if(k<=t)return Query(lc[now],lc[last],lson,k);
else return Query(rc[now],rc[last],rson,k-t);
}
};
};
ChairMan_Tree T;
std::vector<int> V;
std::map<int,int> M;
template<typename T> inline void read(T &x)
{
T data=0,w=1;
char ch=0;
while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9')data=((T)data<<3)+((T)data<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();
x=data*w;
}
template<typename T> inline void write(T x,char c='\0')
{
if(x<0)putchar('-'),x=-x;
if(x>9)write(x/10);
putchar(x%10+'0');
if(c!='\0')putchar(c);
}
template<typename T> inline void chkmin(T &x,T y){x=(y<x?y:x);}
template<typename T> inline void chkmax(T &x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T> inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T> inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
inline void discre()
{
sort(V.begin(),V.end());
V.erase(unique(V.begin(),V.end()),V.end());
for(register int i=1;i<=n;++i)
{
int pre=A[i];
A[i]=lower_bound(V.begin(),V.end(),A[i])-V.begin()+1;
M[A[i]]=pre;
}
}
int main()
{
read(n);read(m);
T.init();
T.Build(T.root[0],1,n);
for(register int i=1;i<=n;++i)
{
read(A[i]);
V.push_back(A[i]);
}
discre();
for(register int i=1;i<=n;++i)T.Insert(T.root[i],1,n,T.root[i-1],A[i]);
while(m--)
{
int l,r,k;
read(l);read(r);read(k);
write(M[T.Query(T.root[r],T.root[l-1],1,n,k)],'\n');
}
return 0;
}
