57. 数对之差的最大值：4种方法详解与总结[maximum difference of array]
【本文链接】
http://www.cnblogs.com/hellogiser/p/maximum-difference-of-array.html
【题目】
在数组中，数字减去它右边的数字得到一个数对之差。求所有数对之差的最大值。例如在数组{2, 4, 1, 16, 7, 5, 11, 9}中，数对之差的最大值是11，是16减去5的结果。
【分析】
看到这个题目，很多人的第一反应是找到这个数组的最大值和最小值，然后觉得最大值减去最小值就是最终的结果。这种思路忽略了题目中很重要的一点：数对之差是一个数字减去它右边的数字(不包括自身)。由于我们无法保证最大值一定位于数组的左边，因此这个思路不管用。
有如下4种方法对此题进行解答。
【方法1：蛮力法】
很容易想到，让每一个数字逐个减去它右边的所有数字，并通过比较得到数对之差的最大值。所有的数对只差共有n*(n-1)/2，因而时间复杂度为O(n^2)。我们设定只有1个数字时，最大数对之差为INT_MIN，即0x80000000。
【代码】
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// 57_MaxDiffOfArray.cpp : Defines the entry point for the console application.
// /* version: 1.0 author: hellogiser blog: http://www.cnblogs.com/hellogiser date: 2014/5/24 */ #include "stdafx.h" #include <iostream> using namespace std; // brute force int MaxDiff_BruteForce(int *numbers, int length) { // O(n^2) if(NULL == numbers || length < 2) return INT_MIN; //init maxdiff to min value int maxDiff = INT_MIN; for (int i = 0; i < length; ++i) { for (int j = i + 1; j < length; ++j) { int diff = numbers[i] - numbers[j]; // update maxDiff if (diff > maxDiff) maxDiff = diff; } } return maxDiff; } void test_base(int *numbers, int length) { cout << MaxDiff_BruteForce(numbers, length) << endl; } void test_case1() { int a[] = {2}; int length = sizeof(a) / sizeof(int); test_base(a, length); } void test_case2() { int a[] = {2, 4}; int length = sizeof(a) / sizeof(int); test_base(a, length); } void test_case3() { int a[] = {2, 4, 1, 16, 7, 5, 11, 9}; int length = sizeof(a) / sizeof(int); test_base(a, length); } void test_main() { test_case1(); test_case2(); test_case3(); } int _tmain(int argc, _TCHAR *argv[]) { test_main(); return 0; } /* -2147483648 -2 11 */ |
【方法2：分治法】
通常【蛮力法】不会是最好的解法，我们想办法减少减法的次数。
假设我们把数组以中间元素为分割点分成两个子数组，我们其实没有必要拿左边的子数组中较小的数字A去和右边的子数组中较大的数字B作减法。我们可以想象，数对之差的最大值只有可能是下面三种情况之一：
（1）A和B都在第一个子数组中，即第一个子数组中的数对之差的最大值；
（2）A和B都在第二个子数组中，即第二个子数组中数对之差的最大值；
（3）A在第一个子数组中，是第一个子数组的最大值；B在第二个子数组中，是第二个子数组的最小值。
那么这三个差值的最大者就是整个数组中数对之差的最大值。
在前面提到的三种情况中，得到第一个子数组的最大值和第二子数组的最小值不是一件难事，但如何得到两个子数组中的数对之差的最大值？这其实是原始问题的子问题，我们可以递归地解决。
【代码】
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/*
version: 1.0 author: hellogiser blog: http://www.cnblogs.com/hellogiser date: 2014/5/24 */ #define MIN(a,b) a<b?a:b #define MAX(a,b) a>b?a:b // get max of a b c int max3(int a, int b, int c) { int t = a > b ? a : b; return t > c ? t : c; } // get max diff from [left,right] and pass out max/min value int MaxDiffCore(int *left, int *right, int *min, int *max) { if(left == right) { *max = *min = *left; return INT_MIN; } int *middle = left + (right - left) / 2; // get left max diff int minLeft, maxLeft; int leftDiff = MaxDiffCore(left, middle, &minLeft, &maxLeft); // get right max diff int minRight, maxRight; int rightDiff = MaxDiffCore(middle + 1, right, &minRight, &maxRight); // get cross max diff int crossDiff = maxLeft - minRight; // update whole array min and max value *min = MIN(minLeft, minRight); *max = MAX(maxLeft, maxRight); int maxDiff = max3(leftDiff, rightDiff, crossDiff); return maxDiff; } // divide and conquer int MaxDiff_DivideAndConquer(int *numbers, int length) { // T(n)=2*T(n/2)+O(1)===>Tn=O(n) if(NULL == numbers || length < 2) return INT_MIN; int min, max; return MaxDiffCore(numbers, numbers + length - 1, &min, &max); } |
在函数MaxDiffCore中，我们先得到第一个子数组中的最大的数对之差leftDiff，再得到第二个子数组中的最大数对之差rightDiff。接下来用第一个子数组的最大值减去第二个子数组的最小值得到crossDiff。这三者的最大值就是整个数组的最大数对之差。在求解数对之差的同时，还要求解子数组的最小值和最大值。
【方法3：转化法】
转换为求子数组的最大和问题。
接下来再介绍一种比较巧妙的解法。如果输入一个长度为n的数组numbers，我们先构建一个长度为n-1的辅助数组diff，并且diff[i]等于numbers[i]-numbers[i+1]（0<=i<n-1）。如果我们从数组diff中的第i个数字一直累加到第j个数字（j > i），也就是diff[i] + diff[i+1] + … + diff[j] = (numbers[i]-numbers[i+1]) + (numbers[i + 1]-numbers[i+2]) + ... + (numbers[j] – numbers[j + 1]) = numbers[i] – numbers[j + 1]。
分析到这里，我们发现原始数组中最大的数对之差（即numbers[i] – numbers[j + 1]）其实是辅助数组diff中最大的连续子数组之和。
【代码】
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/*
version: 1.0 author: hellogiser blog: http://www.cnblogs.com/hellogiser date: 2014/5/24 */ // max sub sequence sum int MaxSubSequenceSum(int *array, int length) { // f = max(f+a[i],a[i]) if(NULL == array || length <= 0) return INT_MIN; int f = array[0]; int greatest = array[0]; for (int i = 1; i < length; i++) { if (f <= 0) f = array[i]; else f += array[i]; // update greatest if (greatest < f) greatest = f; } return greatest; } // maximum continuous sub-sequence sum int MaxDiff_Transformation(int *numbers, int length) { // Tn=O(n) if(NULL == numbers || length < 2) return INT_MIN; // generate diff array int diffLength = length - 1; int *diff = new int[diffLength]; for (int i = 0; i < diffLength; ++i) diff[i] = numbers[i] - numbers[i + 1]; // get maximum continuous sub-sequence sum int maxDiff = MaxSubSequenceSum(diff, diffLength); delete []diff; return maxDiff; } |
【方法4：动态规划法】
既然我们可以把求最大的数对之差转换成求子数组的最大和，而子数组的最大和可以通过动态规划求解，那我们是不是可以通过动态规划直接求解呢？下面我们试着用动态规划法直接求数对之差的最大值。
我们定义diff[i]是以数组中第i个数字为减数的所有数对之差的最大值(0<=i<n)。
则有diff[i+1] = max(diff[i], maxi-array[i+1])，maxi表示数组array[0,…i]的最大值。
【代码】
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/*
version: 1.0 author: hellogiser blog: http://www.cnblogs.com/hellogiser date: 2014/5/24 */ // max diff using dynamic programming // diff[i]: maxDiff ending at array[i] (0<=i<n) // maxi: max value of array[0,...i] // diff[i+1] = max (diff[i],maxi-array[i+1]) int MaxDiff_DP(int *numbers, int length) { // Tn=O(n) if(NULL == numbers || length < 2) return INT_MIN; int maxi = numbers[0]; int maxDiff = INT_MIN; for (int i = 1; i < length; i++) { if(maxi < numbers[i - 1]) maxi = numbers[i - 1]; if(maxDiff < maxi - numbers[i]) maxDiff = maxi - numbers[i]; } return maxDiff; } |
【总结】
【方法1：蛮力法】时间复杂度为O(n2)，空间复杂度为O(1)。
【方法2：分治法】时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)。 由于该方法基于递归实现，因此会有额外的时间、空间消耗。
【方法3：转化法】时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)。
【方法4：动态规划法】时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)。该方法则没有额外的时间、空间消耗，并且它的代码是最简洁的，因此这是最值得推荐的一种解法。
【参考】
http://zhedahht.blog.163.com/blog/static/2541117420116135376632/
http://www.cnblogs.com/python27/archive/2011/12/01/2270724.html
【本文链接】
http://www.cnblogs.com/hellogiser/p/maximum-difference-of-array.html
