高等数学五：导数的定义

示例1：

自由落体的函数： s = f(t) = 1/2gt²

时间t₀到t的平均速度为：

在t0时刻的瞬时速度为：

示例2：曲线的切线斜率

导数的定义：

导数定义式一：

导数定义式二：利用x - x₀ = Δx变形得到

一般地，导数的定义式，还可以写成以下形式(导数的广义定义式)：使用Ψ(h)代替Δx

单侧导数：

右导数。

左导数。

左、右导数统称为单侧导数。

区间可导与导函数：

 

 函数可导与函数连续的关系：

证明：

+

可导的差别定理： 

 示例：

导数的几何意义： 

 

示例：

求点（x₀, f(x₀)切线方程为：y -  f(x₀) =  f'(x₀)(x - x₀)

 将x₀=6代入，得到y -  f(6) =  f'(6)(x - 6)，

又因f(x)是周期为5的连续函数，因此，相当于求的是：y -  f(1) =  f'(1)(x - 1)

因此，需要我们求得f(1)和f'(1)。

f'(1)：对某点求导，根据导数的定义，可以使用以下任意一种公式：

 

f(1)：求极限，可根据极限定义，无穷小的比较法则，结合题目中的条件，得到。 

 

 高阶导数：

 

高阶导数的定义式：

n阶导数的计算方法：