概率dp+期望dp 题目列表（一）
表示对概率和期望还不是很清楚定义。
目前暂时只知道概率正推，期望逆推，然后概率*某个数值=期望。
为什么期望是逆推的，例如你求到某一个点的概率我们可以求得，然后我们只要运用dp从1~n每次都加下去就好了，这样求出来的就是最后的概率。那么期望呢，就是这个概率*数值就行了。但是有时候这么绕来绕去太麻烦了，我们干脆就逆过来。然后我们发现，根据期望的定义，逆过来以后反正做结果并没有太大的改变，dp从n~1就可以了，并且每次都加上数值，然后在for的途中，这个数值是会不断的乘以概率的，所以期望适合用逆推的方法。
题目列表：
①LightOJ 1030 基础题（一）
②Light OJ 1038 基础题 （二）
③Light OJ 1079 背包+概率（三）
④Light OJ 1104 生日悖论（四）
⑤Light OJ 1248 筛子问题（五）
⑥Light OJ 1265 基础题（四）
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⑨
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一：light OJ 1030 基础题
题目大意：有n个点，每个点有一个val，从1开始出发，到底n个点，每次掷骰子，求到第n个点的期望val是多少？
思路：可以知道对于每个位置，下一个位置只能是后n-i个，所以从这个pos得到的val的期望f(i) = (f(i + 1) + f(i + 2) + … + f(i + 6)) / 6，如果这个位置后不足6，f(i) = (f(i + 1) + … + f(n)) / (n - i)。
期望的代码
//看看会不会爆int! 或者绝对值问题。 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define LL long long #define pb push_back #define mk make_pair #define fi first #define se second #define ALL(a) a.begin(), a.end() const int maxn = 100 + 5; int n; double dp[maxn]; int a[maxn]; int main(){ int T; cin >> T; for (int t = 1; t <= T; t++){ scanf("%d", &n); memset(dp, 0, sizeof(dp)); for (int i = 1; i <= n; i++){ scanf("%lf", dp + i); } for (int i = n; i >= 1; i--){ int k = min(6, n - i); for (int j = 1; j <= k; j++){ dp[i] += (dp[i + j]) * 1.0 / k; } } printf("Case %d: %f\n", t, dp[1]); } return 0; }
当然这道题也可以用概率的代码来写，看这个人的博客吧http://www.cnblogs.com/WABoss/p/5296629.html
学习：懂得基本的期望和概率的知识
二：Light OJ 1038 基础题
思路：预处理即可
//看看会不会爆int!数组会不会少了一维！ //取物问题一定要小心先手胜利的条件 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define LL long long #define ALL(a) a.begin(), a.end() #define pb push_back #define mk make_pair #define fi first #define se second const int maxn = 1e5 + 5; double dp[maxn]; int main(){ for (int i = 2; i <= maxn - 5; i++){ int cnt = 0; double sum = 0; for (int j = 1; j * j <= i; j++){ if (i % j == 0){ sum += dp[j]; cnt++; if (j * j != i){ sum += dp[i / j]; cnt++; } } } sum += cnt; dp[i] = sum / (cnt - 1); } int t; cin >> t; for (int i = 1; i <= t; i++){ int n; scanf("%d", &n); printf("Case %d: %.12f\n", i, dp[n]); } return 0; }
学习：预处理技能
三：Light oj1079
题目大意：抢银行;一个安全概率p,和银行的个数n;接下去给出每个银行可以抢到的钱,还有抢劫这个银行被抓的概率;问在被抓的概率小于等于p的情况下,最多抢到多少钱;
思路:定义dp[i]目前拿了i元还没有被抓住的最大概率
//看看会不会爆int!数组会不会少了一维！ //取物问题一定要小心先手胜利的条件 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define LL long long #define ALL(a) a.begin(), a.end() #define pb push_back #define mk make_pair #define fi first #define se second const double eps = 1e-8; const int maxn = 100 + 5; double dp[maxn * maxn];///目前拿了j元还没有被抓住的最大概率 int n; pair<int, double> p[maxn]; int main(){ int kase = 0; int t; cin >> t; while(t--){ memset(dp, 0, sizeof(dp)); memset(p, 0, sizeof(p)); double pro; int sum = 0; scanf("%lf %d", &pro, &n); for (int i = 1; i <= n; i++){ int val; double t; scanf("%d%lf", &val, &t); p[i] = mk(val, t); sum += val; } dp[0] = 1; for (int i = 1; i <= n; i++){ for (int j = sum; j >= p[i].first; j--){ dp[j] = max(dp[j - p[i].first] * (1 - p[i].second), dp[j]); } } int ans = 0; for (int i = 1; i <= sum; i++){ ///printf("%.12f\n", dp[i]); if (pro - 1 + dp[i] > eps){ ans = i; } } printf("Case %d: %d\n", ++kase, ans); } return 0; }
四：生日悖论
题目大意：给你n天，至少有几个人来参加，生日为同一天的概率超过50%？
思路：反过来定义dp[i]表示生日都不相同的概率即可。
//看看会不会爆int!数组会不会少了一维！ //取物问题一定要小心先手胜利的条件 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define LL long long #define ALL(a) a.begin(), a.end() #define pb push_back #define mk make_pair #define fi first #define se second const double eps = 1e-10; const int maxn = 1e5 + 5; double dp[maxn];///生日都不相同的概率 int solve(int n){ memset(dp, 0, sizeof(dp)); dp[0] = 1.0; for (int i = 1; i <= n; i++){ dp[i] = dp[i - 1] * (1.0 * (n - i + 1) / n); if (1 - dp[i] >= 0.5) return i-1; } } int main(){ int kase = 0; int t; cin >> t; while (t--){ int n; scanf("%d", &n); printf("Case %d: %d\n", ++kase, solve(n)); } return 0; }
五：Light oj 1248
题目大意：给你n个面的东西，投掷，每个面出现至少一次的概率？
也可以看这个人的http://blog.csdn.net/u011686226/article/details/39928597
定义：dp[i]表示还需要扔i个面所需要投掷次数的期望值。然后每一次投掷是有两种可能性，一种是在已经出现过的面中，另一种是在没有出现过的面中，所以我们可以定义dp[i] = i/n * dp[i] + (n-i)/n * dp[i + 1] + 1;所以移项就好了。
如果想要简便一点想的话，就是6*1+6*（1/2）+6*（1/3）+6*（1/4）+6*（1/5）+6*（1/6）。
不过我还是根据期望的定义来写了。。。先算出概率，再求加权和
//看看会不会爆int!数组会不会少了一维！ //取物问题一定要小心先手胜利的条件 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define LL long long #define ALL(a) a.begin(), a.end() #define pb push_back #define mk make_pair #define fi first #define se second #define haha printf("haha\n") const int maxn = 1e5 + 5; int n; double dp[maxn];///定义，目前已经出现i种不同颜色的概率 int main(){ int t; cin >> t; int kase = 0; while (t--){ scanf("%d", &n); for (int i = 1; i <= n; i++){ dp[i] = 1.0 / i; } double ans = 0; for (int i = 1; i <= n; i++){ ans += dp[i] * n * 1.0; } printf("Case %d: %.12f\n", ++kase, ans); } return 0; }
学习：期望的定义是：每个的概率*权值
六：lightOJ 1265
题目大意：有t个老虎，d个鹿，有以下操作
Ｔ－Ｍ Ｔ会吃掉Ｍ
Ｔ－Ｄ Ｔ会吃掉Ｄ
Ｄ－Ｄ Ｎｏｔｈｉｎｇ
Ｍ－Ｄ Ｍ可以选择杀与不杀Ｄ
Ｔ－Ｔ 两只Ｔ会互相残杀（Ｔｗｏ Ｄｉｅ）
可以看看这个人的http://blog.csdn.net/challengerrumble/article/details/52528951
思路一：定义dp[i][j]表示还有i只老虎，j只鹿的概率，转移就好了
//看看会不会爆int!数组会不会少了一维！ //取物问题一定要小心先手胜利的条件 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define LL long long #define ALL(a) a.begin(), a.end() #define pb push_back #define mk make_pair #define fi first #define se second #define haha printf("haha\n") const int maxn = 1000 + 5; double dp[maxn][maxn];///还有i只老虎，j只鹿的概率 int n, m; int main(){ int T; cin >> T; for (int kase = 1; kase <= T; kase++){ scanf("%d%d", &n, &m); if (n % 2 == 1) {printf("Case %d: %.10f\n", kase, 0.0); continue;} memset(dp, 0, sizeof(dp)); dp[n][m] = 1; for (int i = n; i >= 0; i--){ for (int j = m; j >= 0; j--){ int sum = i * j + i * (i - 1) / 2 + i;///总可能性 if (sum == 0) continue; if (j != 0) dp[i][j - 1] += 1.0 * dp[i][j] * i * j / sum; if (i >= 2) dp[i - 2][j] = 1.0 * dp[i][j] * i * (i - 1) / 2 / sum; } } double ans = 0; for (int i = 0; i <= m; i++) ans += dp[0][i]; printf("Case %d: %.10f\n", kase, ans); } return 0; }
思路二：定义dp[i] = 目前有i只老虎，老虎全部死亡的概率
因为鹿对我们的存活没有影响，然后我们定义人从来都不杀鹿，这样可以让自己的存活率最大。
所以：
//看看会不会爆int!数组会不会少了一维！ //取物问题一定要小心先手胜利的条件 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define LL long long #define ALL(a) a.begin(), a.end() #define pb push_back #define mk make_pair #define fi first #define se second #define haha printf("haha\n") const int maxn = 1000 + 5; double dp[maxn]; int n, m; int main(){ int T; cin >> T; for (int kase = 1; kase <= T; kase++){ scanf("%d%d", &n, &m); if (n % 2 == 1){ printf("Case %d: %.10f\n", kase, 0.0); continue; } dp[n] = 1.0; for (int i = n; i >= 0; i--){ int sum = i * (i - 1) / 2 + i; if (!sum) continue; if (i >= 2) dp[i - 2] = dp[i] * i * (i - 1) / 2 / sum; } printf("Case %d: %.10f\n", kase, dp[0]); } return 0; }
学习：需要懂得目前哪些东西是无关变量，再加上一点的贪心即可
七：
八：
九：
