三种算法求解一个数组的子数组最大和

 

前阵子去淘宝的暑期实习生去笔试，遇到这样一个题：要求一个数组连续下标和的最大值，数组的元素可正、可负、可为零，例如-2，5，3，-6，4，-8，6将返回8。

 

这题嘛，是很经典的一道公司的笔试或者面试题了，也有各种解法，从算法分析上，时间复杂度也有很大差别，下面我就给出三种不同的解法，看完之后，你应该就知道如果你面试的时候遇到这样的题，你应该用哪种方法最能让考官满意。

 

方法一：暴力枚举法

此种方法最简单，我想应该也是每个人拿到题目想到的第一种解法了，学过一点编程的人都应该能编出此类程序。

记sum[i..j]为数组中第i个元素到第j个元素的和（其中0<=i<j<=n-1），通过遍历所有的组合之和，就能找到最大的一个和了。

伪代码如下：

int maxSubArray(int *A,int n) { int maxium = -INF; //保存最大子数组之和 for i=0 to n-1 do sum = 0; //sum记录第i到j的元素之和 for j=i to n-1 do sum += A[j]; if sum>maxium do //更新最大值 maxium = sum; return maxium; }

此种方法的时间复杂度为O(n2)，显然不是一种很好的办法，也不是公司面试希望你写出这样的程序的。

 

       方法二：分支界定

       这里再介绍一种更高效的算法，时间复杂度为O(nlogn)。这是个分治的思想，解决复杂问题我们经常使用的一种思维方法——分而治之。

       而对于此题，我们把数组A[1..n]分成两个相等大小的块：A[1..n/2]和A[n/2+1..n]，最大的子数组只可能出现在三种情况：

• A[1..n]的最大子数组和A[1..n/2]最大子数组相同；

• A[1..n]的最大子数组和A[n/2+1..n]最大子数组相同；

• A[1..n]的最大子数组跨过A[1..n/2]和A[n/2+1..n]

       前两种情况的求法和整体的求法是一样的，因此递归求得。

       第三种，我们可以采取的方法也比较简单，沿着第n/2向左搜索，直到左边界，找到最大的和maxleft，以及沿着第n/2+1向右搜索找到最大和maxright，那么总的最大和就是maxleft+maxright。

       而数组A的最大子数组和就是这三种情况中最大的一个。

       伪代码如下：

int maxSubArray(int *A,int l,int r) { if l<r do mid = (l+r)/2; ml = maxSubArray(A,l,mid); //分治 mr = maxSubArray(A,mid+1,r); for i=mid downto l do search maxleft; for i=mid+1 to r do search maxright; return max(ml,mr,maxleft+maxright); //归并 then //递归出口 return A[l]; }

 

    方法三：动态规划

       这算是一个经典的动态规划的题目了，如果不知道动态规划可以先不去理解这个名词。用通俗点的语言描述这个算法就是：

令cursum(i)表示数组下标以i为起点的最大连续下标最大的和，而maxsum(i)表示前i个元素的最大子数组之和。那么我们就可以推出下一个maxsum(i+1)应该为cursum(i+1)和maxsum(i)中选取一个最大值。递推式为：

cursum(i) = max{A[i],cursum(i-1)+A[i]};

maxsum(i) = max{maxsum(i-1),cursum(i+1)};

伪代码为：

int maxSubArray(int *A,int n) { cursum = A[0]; maxsum = A[0]; for i=1 to n-1 do /*当我们加上一个正数时，和会增加；当我们加上一个负数时，和会减少。如果当前得到的和是个负数，那么这个和在接下来的累加中应该抛弃并重新清零，不然的话这个负数将会减少接下来的和。*/ if cursum<0 do cursum = 0; cursum += A[i]; if cursum>maxsum do maxsum = cursum; return maxsum; }

 

这种算法时间复杂度只是O(n)，效果非常好！我想如果笔试的时候能完整的写出这种算法，应该堪称perfect了！而是面试，你可以通过比较这三种算法，可以很明显为你的表现加分的，因为算法设计分析能力是这个专业所必备的一项基本的素质！

 

 

     

 参考文献： 编程之美   电子工业出版社

 源代码下载地址：http://download.csdn.net/source/3258272

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