排列与组合的一些定理

一，加法原理与乘法原理

加法原理与乘法原理是排列与组合的基础。加法原理本质上是分类，乘法原理本质上是分步。

分类，就是把一个集合(某事物)分成互不相交的若干独立的部分。比如，概率论中的全概率公式就将事件分成”全划分“

分类思想可以简化程序的时间复杂度。比如：最短路径算法-Dijkstra算法的应用之单词转换(词梯问题)

分步，就是第一步干嘛，第二步再干嘛……比如A地到D地，第一步：先到达B地；第二步，再到达C地

 

二，排列

P(n,r)表示从n个数中选择r个数的一个全排列

公式：P(n,r)=P(n-1,r)+p(n-1,r-1)*r

上面公式用到了分类思想：对于某个元素而言，要么选，要么不选。如果不选它，则在剩下的n-1个元素中选r个进行全排列；如果选了它，则在剩下的n-1个元素中只需要选r-1个元素进行全排列了。但是选了的那个元素，一共有r种位置存放（因为这是排列，同一个元素放在不同的位置 属于不同的排列）故p(n-1,r-1)*r。

排列一共有三种：①线排列，就是通常的普通排列。

公式：P(n,r)=n!/(n-r)!

②圆排列，相当于排序的数围成一个圆。比如循环队列的那种实现方式。举个圆排列的例子如下：

a b c d四个字母的线排列共有4!=24种。对于其中的一种排列： a b c d ，它对应着四种等价圆排列：

1) a b c d   2) b c d a   3)c d a b   4)d a b c

因此，对于给定n个数的所有圆排列，一共有 p(n,r)/r种。 因为，一个圆排列可以产生r个线排列。

③重排列

对于线排列而言，某个元素选了之后，就不能再选了（一个元素只能选一次）

对于重排列而言，一个元素可以选多次。

集合{∞·b₁，∞·b₂，....，∞·b_n}的一个r排列个数为：n^r

即从b₁，b₂...b_n，共n个元素中选出r个，每个元素可选任意多次，一共有种n^r排列

还有一种重排列是：每个元素最多只能选K次(某个固定的次数)

{K₁·b₁，K₂·b₂，....，Kn·b_n}（ 元素b₁最多只能选K₁次）的一个r排列个数为：(K₁+K₂+....+K_n)!/(K₁!K₂!...K_n!)

上面表示从b₁，b₂...b_n，共n个元素中选出r个进行排列，但是 b_j最多只能选K_j次，一共有(K₁+K₂+....+K_n)!/(K₁!K₂!...K_n!)次排列方式。

 

三，组合

C(n,r)表示从n个数中选择r个数的一个全组合。

公式：C(n, r)=[n!/(r!)(n-r)!]=P(n,r)/r!

公式：C(n,r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1)  这个公式用到了分类思想。对于n个元素的某个元素，要么选，要么不选。

如果选了，只需在 剩下的n-1 个元素中选 r-1个；如果不选，则在剩下的n-1个元素中选r个（因为一共要选r个啊）。

这个公式非常有用，这是杨辉三解公式：其中基准条件C(n,0)=1，C(i,i)=1

C(0,0)

C(1,0)   C(1,1)

C(2,0)   C(2,1)   C(2,2)

C(3,0)   C(3,1)   C(3,2)   C(3,3)

.....        .....        .....

如果要求解C(n,r)，可以先求解出C(n-1,r) 和 C(n-1,r-1)；再运用公式相加即可。很明显，这是一个与Fib数列类似的递归计算。只不过求Fib(n)时，只有一个参数，而这里有二个参数而已。当然，上面的程序效率是非常低的，因为它重复计算了很多子问题。代码实现如下：

public class YanHuiTriangle {
    //compute C(n,r)
    public static long c(int n, int r){
        if(n == 0 || r == 0)
            return 1;//base condition
        if(n == r)
            return 1;//base condition
        else
            return c(n-1, r-1) + c(n-1, r);
    }

    //compute c(n,r)
    public static long c_dp(int n ,int r){
        long[][] dp = new long[n+1][r+1];
        
        //init
        for(int i = 0; i <= n; i++)
            dp[i][0] = 1;//if(n==0)
        for(int i = 0; i <= r; i++)
            dp[0][i] = 1;//if(r==0)
        for(int i = 0; i <= r; i++)//Assume r < n
            dp[i][i] = 1;//if(n==r)
        
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for(int j = 1; j <= r; j++)
            {
                if(j < i)
                    dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1];
                else if(j > i)//从 i 个元素中选取出 j个元素(j>i 没有意义)
                    dp[i][j] = 0;
            }
        }
        return dp[n][r];
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        
        long start_dp = System.currentTimeMillis();
        System.out.println(c_dp(50, 10));
        long end_dp = System.currentTimeMillis();
        System.out.println("dp use time: " + (end_dp - start_dp) + "ms");
        
        long start = System.currentTimeMillis();
        System.out.println(c(50,10));
        long end = System.currentTimeMillis();
        System.out.println("non dp use time: " + (end - start) + "ms");
    }
}

 

 

这个示例完美地证明了DP（动态规划）实现和递归实现的差距。是学习DP的一个好示例。如何将一个程序从递归改成DP？看上面的示例就会有启示了。

其次，这也是0-1背包问题分解的思路，对于某件物品，要么拿走，要么不拿走。因此，这个组合公式在DP问题的分析中经常用到。

 

重组合公式：从集合{∞·b₁，∞·b₂，....，∞·b_n}中选取r个元素，（不考虑次序），一共有多少种组合？

答案是：F(n,r) = C(n+r-1, r)

 

四，二项式定理

（X+Y）ⁿ = C(n,0)X⁰ Yⁿ + C(n,1)X¹ Y^n-1 +.....+ C(n,n)Xⁿ Y⁰

“二项式”定理嘛，就是有两个项相加求n次幂。。。。。