带权图的最短路径算法(Dijkstra)实现
一，介绍
本文实现带权图的最短路径算法。给定图中一个顶点，求解该顶点到图中所有其他顶点的最短路径 以及 最短路径的长度。在决定写这篇文章之前，在网上找了很多关于Dijkstra算法实现，但大部分是不带权的。不带权的Dijkstra算法要简单得多（可参考我的另一篇：无向图的最短路径算法JAVA实现）；而对于带权的Dijkstra算法，最关键的是如何“更新邻接点的权值”。本文采用最小堆作为辅助，以重新构造堆的方式实现更新邻接点权值。
对于图而言，存在有向图和无向图。本算法只需要修改一行代码，即可同时实现带权有向图的Dijkstra和带权无向图的Dijkstra。因为，不管图是否是有向的还是无向的，只是构造图的方式不一样而已，而 Dijkstra算法都是一样的。
Dijkstra算法的实现需要一个辅助堆，用来选取当前到源点的距离 最小的那个顶点，这里采用了最小堆来实现。用最小堆保存图中所有顶点到源点的距离，因为Dijkstra算法运行过程中，需要每次选取当前到源点 距离最短 的那个顶点，这步操作用“出堆”很容易实现，但是，当选出该顶点之后， 需要不断地更新该顶点的邻接点到源点的距离。而最小堆不能很好地支持这种更新操作（关于最小堆可参考：），这也是为什么《算法导论》中推荐使用菲波拉契堆或者配对堆实现Dijkstra算法的原因。
二，Dijkstra实现思路
①初始化，源点的距离初始化为0（源点到它自己的距离当然是0了），源点的前驱顶点为null（因为是从源点开始的嘛，求源点到图中所有其他顶点的minDistance...）。所有其他顶点的前驱顶点也初始化为null，且顶点的“距离”(dist)属性初始化为无穷大(Integer.MAX_VALUE)，即其他顶点到源点的距离 为无穷大。
②构造堆。将所有的顶点按照“距离”属性(dist) 构造最小堆。显然，由于源点的“距离”属性为0，其他顶点的“距离”属性为Integer.MAX_VALUE，故最开始构造的堆的 堆顶元素为源点。
③只要堆中还存在元素(while循环)，执行deleteMin从堆中删除堆顶元素，记该元素为v，寻找v的所有邻接点，更新v的所有邻接点的距离。怎么更新的呢？就是比较：❶v的邻接点到源点的距离(dist属性) ； ❷v到源点的距离(dist属性) 加上 v 到v的邻接点的这条 边的权值
v的邻接点的距离(dist属性)取 ❶ ❷ 中较小的那个。
伪代码如下：
DIJKSTRA(G,w,s)
初始化
构造堆(Q=V(G))
while(!isEmpty(Q))
v=EXTRACT-MIN(Q)
foreach vertex v_adj belogns to Adj[v]
更新v的邻接点 v_adj
三，具体代码实现
在讲解具体实现前，先介绍下如何构造图。假设图中的数据存储在文件中，文件的格式如下：
（图的顶点及边信息---暂且用无向图举例）
第一列代表顶点的编号（不用管） ；第二列表示 边的 起始顶点的标识(vertexLabel)
第三列表示 边的 终点的标识；第四列表示边的权值。比如，对于权值为1的那条边而言，它对应的 起始顶点编号为0，对应的结点顶点的编号为1
关于图的解释，可参考：
这里由于是带权图，故边类(Edge.java)需要有一个权值（边的权值）。
private class Edge{
private int weight;//边的权值(带权图)
private Vertex endVertex;
public Edge(int weight, Vertex endVertex) {
this.weight = weight;
this.endVertex = endVertex;
}
图采用的是邻接表实现，因此每个顶点都会有一个邻接点列表。
1 private class Vertex implements Comparable<Vertex> 2 { 3 private String vertexLabel;//顶点标识 4 private List<Edge> adjEdges;//顶点的所有邻接边(点) 5 private int dist;//顶点到源点的最短距离 6 private Vertex preNode;//追溯最短路径 7 8 public Vertex(String vertexLabel){ 9 this.vertexLabel = vertexLabel; 10 adjEdges = new LinkedList<Edge>(); 11 dist = Integer.MAX_VALUE; 12 preNode = null; 13 } 14 15 @Override 16 public int compareTo(Vertex v) { 17 if(this.dist > v.dist) 18 return 1; 19 else if(this.dist < v.dist) 20 return -1; 21 return 0; 22 } 23 }
①第4行 adjEdges 是顶点的邻接点列表，表明图采用的是邻接表存储。第5行 dist 表示的是该顶点到源点的最短距离（从而不需要一个单独的距离数组）。第6行preNode 表示该顶点的前驱顶点， 用来记录源点到该顶点路径中经历了哪些顶点。
②Vertex类实现了Comparable接口，因为需要将顶点存储到最小堆中，而最小堆存储的元素需要实现Comparable接口(可以进行顶点的比较)。
最关键的是实现Dijkstra算法中用到的最小堆。关于最小堆的实现，可参考：数据结构--堆的实现之深入分析 本程序就是用的它。
然后是 dijkstra 的具体实现代码：
1 public void dijkstra(){ 2 BinaryHeap<Vertex> heap = new BinaryHeap<WeightedGraph.Vertex>(); 3 init(heap);//inital heap 4 5 while(!heap.isEmpty()) 6 { 7 Vertex v = heap.deleteMin(); 8 List<Edge> adjEdges = v.adjEdges;//获取v的所有邻接点 9 for (Edge e : adjEdges) { 10 Vertex adjNode = e.endVertex; 11 //update 12 if(adjNode.dist > e.weight + v.dist){ 13 adjNode.dist = e.weight + v.dist; 14 adjNode.preNode = v; 15 } 16 }//end for 17 18 //更新之后破坏了堆序性质,需要进行堆调整,这里直接重新构造堆(相当于decreaseKey) 19 heap.buildHeap(); 20 } 21 22 }
①第7行，从堆中出一个距离源点路径最短的顶点。刚好符合堆的基本操作（删除堆顶元素），这里也体现了Dijkstra是个贪心算法。
②第8-10行，获取顶点的邻接点
③第12行--15行的if语句，执行更新操作。关于更新操作的具体解释，可参考上面的介绍。
④由于 ③中的更新操作，破坏了堆序的性质，故需要进行堆调整。但是如何调整呢？由于堆不支持将堆中某个结点的权值降低，故在第19行，直接再次建堆。以保证堆序性质 。但是这里的时间复杂度就大了，故推荐使用更好的数据结构来实现，如Fib堆，因为Fib堆的将某个结点的权值降低是很方便的。
时间复杂度简要分析如下：buildHeap()的时间复杂度为O(N)，对于图中每个顶点v，出堆时都需要重新构造堆，故最坏情况下时间复杂度为O(V^2)
整个完整代码实现如下：
import java.util.LinkedHashMap; import java.util.LinkedList; import java.util.List; import java.util.Map; public class WeightedGraph{ private class Vertex implements Comparable<Vertex> { private String vertexLabel;//顶点标识 private List<Edge> adjEdges;//顶点的所有邻接边(点) private int dist;//顶点到源点的最短距离 private Vertex preNode;//前驱顶点 public Vertex(String vertexLabel){ this.vertexLabel = vertexLabel; adjEdges = new LinkedList<Edge>(); dist = Integer.MAX_VALUE; preNode = null; } @Override public int compareTo(Vertex v) { if(this.dist > v.dist) return 1; else if(this.dist < v.dist) return -1; return 0; } } private class Edge{ private int weight;//边的权值(带权图) private Vertex endVertex; public Edge(int weight, Vertex endVertex) { this.weight = weight; this.endVertex = endVertex; } } private Map<String, Vertex> weightedGraph;//存储图(各个顶点) private Vertex startVertex;//单源最短路径的起始顶点 //图的信息保存在文件中,从文件中读取成字符串graphContent public WeightedGraph(String graphContent) { weightedGraph = new LinkedHashMap<String, WeightedGraph.Vertex>(); buildGraph(graphContent);//解析字符串构造图 } private void buildGraph(String graphContent){ String[] lines = graphContent.split("\n"); String startNodeLabel, endNodeLabel; Vertex startNode, endNode; int weight; for(int i = 0; i < lines.length; i++){ String[] nodesInfo = lines[i].split(","); startNodeLabel = nodesInfo[1]; endNodeLabel = nodesInfo[2]; weight = Integer.valueOf(nodesInfo[3]); endNode = weightedGraph.get(endNodeLabel); if(endNode == null){ endNode = new Vertex(endNodeLabel); weightedGraph.put(endNodeLabel, endNode); } startNode = weightedGraph.get(startNodeLabel); if(startNode == null){ startNode = new Vertex(startNodeLabel); weightedGraph.put(startNodeLabel, startNode); } Edge e = new Edge(weight, endNode); //对于无向图而言,起点和终点都要添加边 // endNode.adjEdges.add(e); startNode.adjEdges.add(e); } startVertex = weightedGraph.get(lines[0].split(",")[1]);//总是以文件中第一行第二列的那个标识顶点作为源点 } public void dijkstra(){ BinaryHeap<Vertex> heap = new BinaryHeap<WeightedGraph.Vertex>(); init(heap);//inital heap while(!heap.isEmpty()) { Vertex v = heap.deleteMin(); List<Edge> adjEdges = v.adjEdges;//获取v的所有邻接点 for (Edge e : adjEdges) { Vertex adjNode = e.endVertex; //update if(adjNode.dist > e.weight + v.dist){ adjNode.dist = e.weight + v.dist; adjNode.preNode = v; } }//end for //更新之后破坏了堆序性质,需要进行堆调整,这里直接重新构造堆(相当于decreaseKey) heap.buildHeap(); } } private void init(BinaryHeap<Vertex> heap){ startVertex.dist = 0;//源点到其自身的距离为0 for (Vertex v : weightedGraph.values()) { heap.insert(v); } } public void showDistance(){ for (Vertex v : weightedGraph.values()) { printPath(v); System.out.println(); System.out.println("顶点 " + v.vertexLabel + "到源点" + startVertex.vertexLabel + " 的距离: " + v.dist); } } //打印源点到 end 顶点的 最短路径 private void printPath(Vertex end) { if(end.preNode != null) printPath(end.preNode); System.out.print(end.vertexLabel + "--> "); } }
buildGraph()方法中：如果是有向图，只需要起点添加边；如果是无向图，则起点和终点都需要添加边。但不管是有向图还是无向图Dijkstra算法都一样。
Edge e = new Edge(weight, endNode); //对于无向图而言,起点和终点都要添加边 // endNode.adjEdges.add(e); startNode.adjEdges.add(e);
关于如何测试WeightedGraph.java，需要构造一个图。构造图：可参考有向图的拓扑排序算法JAVA实现 中的“完整代码实现”中的FileUtil.java 和 TestXXX.java
public class TestDijkstra { public static void main(String[] args) { String graphFilePath; if(args.length == 0) graphFilePath = "F:\\graph2.txt"; else graphFilePath = args[0]; String graphContent = FileUtil.read(graphFilePath, null); WeightedGraph graph = new WeightedGraph(graphContent); graph.dijkstra(); graph.showDistance(); } }
