快速排序中的分割算法的解析与应用
一，分割(partition)算法介绍
所谓分割算法，先选定一个枢轴元素，然后 将数组中的元素分成两部分：比枢轴元素小的部分都位于枢轴元素左边；比枢轴元素大的部分都位于枢轴元素右边
此时，枢轴元素在数组中的位置就被“永久地确定”下来了---将整个数组排序，该枢轴元素的位置不会变化。
另外，枢轴元素的选取对分割算法至关重要。一般而言，终极追求的是：将数组平分。因此，尽可能地让枢轴元素的选取随机化和靠近中位数。
这里采用“三数取中”法选取枢轴元素。
关于快速排序排序算法，可参考：排序算法总结之快速排序
二，分割算法的实现
1 //分割数组,将数组分成两部分. 一部分比pivot(枢轴元素)大,另一部分比pivot小 2 private static int parition(int[] arr, int left, int right){ 3 4 int pivot = media3(arr, left, right); 5 int i = left; 6 int j = right - 1;//注意 ,在 media3()中 arr[right-1]就是 pivot 7 8 for(;;) 9 { 10 while(arr[++i] < pivot){} 11 while(arr[--j] > pivot){} 12 if(i < j) 13 swap(arr, i, j); 14 else 15 break; 16 } 17 18 swap(arr, i, right-1);//restore pivot， 将枢轴元素放置到合适位置:arr左边元素都比pivot小,右边都比pivot大 19 return i;// 返回 pivot的 索引 20 }
①第4行，枢轴元素是通过“三数取中”法选择的。在“三数取中”时，还做了一些优化：将 枢轴元素 放到 数组末尾的倒数第二个位置处。具体参考 media3()
需要注意的是：当输入的数组中长度为1 或者 2 时， partition会出现向下越界（但对快排而言，当数组长度很小的，其实可以不用 partition，而是直接用插入排序）。因此，可加入以下的修改。
1 //分割数组,将数组分成两部分. 一部分比pivot(枢轴元素)大,另一部分比pivot小 2 private static int parition(int[] arr, int left, int right){ 3 4 int pivot = media3(arr, left, right); 5 int i = left; 6 int j = right - 1;//注意 ,在 media3()中 arr[right-1]就是 pivot 7 8 //应对特殊情况下的数组,比如数组长度 小于3 9 if(i >= j) 10 return i; 11 12 for(;;) 13 { 14 while(arr[++i] < pivot){} 15 while(arr[--j] > pivot){} 16 if(i < j) 17 swap(arr, i, j); 18 else 19 break; 20 } 21 22 swap(arr, i, right-1);//restore pivot 将枢轴元素放置到合适位置:arr左边元素都比pivot小,右边都比pivot大 23 return i;// 返回 pivot的 索引 24 }
再来看看，三数取中算法，这里也有个特殊情况：当数组中元素个数都没有3个时....怎么办？
1 //三数取中,用在快排中随机选择枢轴元素时 2 private static int media3(int[] arr, int left, int right){ 3 if(arr.length == 1) 4 return arr[0]; 5 6 if(left == right) 7 return arr[left]; 8 9 int center = (left + right) / 2; 10 11 //找出三个数中的最小值放到 arr[left] 12 if(arr[center] < arr[left]) 13 swap(arr, left, center); 14 if(arr[right] < arr[left]) 15 swap(arr, left, right); 16 17 //将 中间那个数放到 arr[media] 18 if(arr[center] > arr[right]) 19 swap(arr, center, right); 20 21 swap(arr, center, right-1);//尽量将大的元素放到右边--将privot放到右边, 可简化 分割操作(partition). 22 return arr[right-1];//返回中间大小的那个数 23 }
其实，这里的“三数取中”的实现，与参考资料中提到的三数取中实现有一点不同。这是正常的，毕竟实现细节不同。如果有错误，需要自行调试。
这里提下第3-7行的两个if语句：当需要 “取中”的目标数组长度为1时，或者说 对数组中某些范围内[left, right]的元素进行“取中”时，若left=right，则根本就没有3个数，违背了“三数取中”的本意（随机地选取枢轴元素），故直接 return。
当数组中元素只有一个时，第18行会越界。为了防止这种情况，在第3-4行就先对数组长度进行判断。当数组中只有两个元素，其实就相当于 center=left，因此，程序也没问题。
三，分割算法的应用---O(N)时间复杂度找出无序数组中第k大的元素
给定一个数组，数组中某个元素出现的次数超过了数组大小的一半，找出这个元素。
比如输入：[2,5,4,4,5,5,5,6,5] ，输出 5
这个问题，其实可以转化成求解中位数问题。因为，当数组有序时，出现次数超过一半的那个元素一定位于数组的中间。
所谓中位数，就是 假设 数组是有序的情况下，中间那个元素。即 arr[arr.length/2]
而要求解中位数，当然可以先对数组进行排序，但排序的时间复杂度为O(NlogN)，那有没有更快的算法？
当然是有的。就是借助partition分割算法 来 实现。
1 //找出 arr 中 第 n/2 大的那个元素 2 public static int media_number(int[] arr){ 3 int left = 0; 4 int right = arr.length - 1; 5 int center = (left + right) / 2; 6 7 int pivot_index = parition(arr, left, right);//枢轴元素的数组下标 8 9 while(pivot_index != center) 10 { 11 if(pivot_index > center){ 12 right = pivot_index - 1; 13 pivot_index = parition(arr, left, right); 14 } 15 else{ 16 left = pivot_index + 1; 17 pivot_index = parition(arr, left, right); 18 } 19 } 20 return arr[center]; 21 }
上面算法不仅可以求解“找出超过一半的数字”，也可以求解任何一个数组的中位数。
这里递归表达式 T(N)=T(N/2)+O(N)，O(N)表示将数组 分成两部分所花的代价。
故时间复杂度为O(N)
四，参考资料
排序算法总结之快速排序
整个完整代码
public class Middle_Large { //找出 arr 中 第 n/2 大的那个元素 public static int media_number(int[] arr){ int left = 0; int right = arr.length - 1; int center = (left + right) / 2; int pivot_index = parition(arr, left, right); while(pivot_index != center) { if(pivot_index > center){ right = pivot_index - 1; pivot_index = parition(arr, left, right); } else{ left = pivot_index + 1; pivot_index = parition(arr, left, right); } } return arr[center]; } //分割数组,将数组分成两部分. 一部分比pivot(枢轴元素)大,另一部分比pivot小 private static int parition(int[] arr, int left, int right){ int pivot = media3(arr, left, right); int i = left; int j = right - 1;//注意 ,在 media3()中 arr[right-1]就是 pivot //应对特殊情况下的数组,比如数组长度 小于3 if(i >= j) return i; for(;;) { while(arr[++i] < pivot){} while(arr[--j] > pivot){} if(i < j) swap(arr, i, j); else break; } swap(arr, i, right-1);//restore pivot 将枢轴元素放置到合适位置:arr左边元素都比pivot小,右边都比pivot大 return i;// 返回 pivot的 索引 } //三数取中,用在快排中随机选择枢轴元素时 private static int media3(int[] arr, int left, int right){ if(arr.length == 1) return arr[0];
if(left == right)
return arr[left];
int center = (left + right) / 2; //找出三个数中的最小值放到 arr[left] if(arr[center] < arr[left]) swap(arr, left, center); if(arr[right] < arr[left]) swap(arr, left, right); //将 中间那个数放到 arr[media] if(arr[center] > arr[right]) swap(arr, center, right); swap(arr, center, right-1);//尽量将大的元素放到右边--将privot放到右边, 可简化 分割操作(partition). return arr[right-1];//返回中间大小的那个数 } private static void swap(int[] arr, int left, int right){ int tmp = arr[left]; arr[left] = arr[right]; arr[right] = tmp; } public static void main(String[] args) { int[] arr = {5,6,8,4,1,5,5,5,5}; int result = media_number(arr); System.out.println(result); } }
另外，再写了一个寻找第K（K从1开始）大元素的程序：
public class FindKLargest { public static <T extends Comparable<? super T>> T findK(T[] arr, int k) { k = k - 1; if (arr == null || arr.length == 0) { throw new IllegalArgumentException("array is null"); } if (k < 0) { throw new IllegalArgumentException("k must be > 0"); } if (k > arr.length - 1) { k = arr.length - 1; } int low = 0; int high = arr.length - 1; int pivot_index = partition(arr, low, high); while (pivot_index != k) { if (pivot_index > k) { high = pivot_index - 1; pivot_index = partition(arr, low, high); }else { low = pivot_index + 1; pivot_index = partition(arr, low, high); } } return arr[pivot_index]; } public static <T extends Comparable<? super T>> int partition(T[] arr, int low, int high) { T pivot = pick(arr, low, high); int i = low; int j = high; for (; ; ) { while (arr[i++].compareTo(pivot) == -1) { } while (arr[j--].compareTo(pivot) == 1) { } if (i < j) { swap(arr, i, j); } else { break; } } return i - 1; } private static <T extends Comparable<? super T>> T pick(T[] arr, int low, int high) { return arr[(low + high) / 2]; } private static <T extends Comparable<? super T>> void swap(T[] arr, int i, int j) { T tmp = arr[i]; arr[i] = arr[j]; arr[j] = tmp; } public static void main(String[] args) { String[] strings = {"abc", "bcd", "def"}; System.out.println(findK(strings, 1)); // System.out.println(findK(strings, 0)); String[] strings1 = {"abc"}; System.out.println(findK(strings1, 2)); Long[] longs = {1L, 2L, 3L, 4L, 5L}; System.out.println(findK(longs, 5)); System.out.println(findK(longs, 1)); System.out.println(findK(longs, 2)); } }
原文：https://www.cnblogs.com/hapjin/p/5587014.html
