排序算法总结之堆排序
一，堆排序介绍
堆是一个优先级队列，对于大顶堆而言，堆顶元素的权值最大。将 待排序的数组 建堆，然后不断地删除堆顶元素，就实现了排序。关于堆，参考：数据结构--堆的实现之深入分析
下面的堆排序算法将数组中的元素从小到大排序，用大顶堆来实现。
二，堆排序算法分析
现给定了一维数组，需要将数组中的元素使用堆排序。首先，得创建一个堆，可以在这个给定的一维数组上建堆。 对N个元素 建堆的时间复杂度为O(N)
堆排序具体的细节实现有两种方式：一种方式是将堆顶元素删除后，放到一个辅助数组中，然后进行堆调整使之成为一个新堆。接下来，继续删除堆顶元素，直至将堆中所有的元素都出堆，此时排序完成。这种方式需要一个额外的辅助空间O(N)
另一种方式是：将每次删除的堆顶元素放到数组的末尾。因为，对于堆的基本操作 delMin/delMax 而言（delMin针对的是小顶堆，delMax针对的是大顶堆，原理一样）是将堆中的最后一个元素替换堆顶元素，然后向下进行堆调整。因此，可以利用这个特点将每次删除的堆顶元素保存在数组末尾，当所有的元素都出堆后，数组就排好序了。这种方式不需要额外的辅助空间，空间复杂度为O(1)
三，堆排序算法实现
1 public class HeapSort { 2 3 public static <T extends Comparable<? super T>> void heapSort(T[] arr){ 4 //build heap 5 for(int i = arr.length/2 - 1; i >= 0; i--) 6 percDown(arr, i, arr.length); 7 8 9 for(int i = arr.length - 1; i >= 0; i--) 10 { 11 swapReference(arr, 0, i);//delete Max 12 13 percDown(arr, 0, i);// 从根开始向下堆调整 14 } 15 } 16 17 private static <T extends Comparable<? super T>> void swapReference(T[] arr, int from, int to){ 18 T tmp; 19 tmp = arr[from]; 20 arr[from] = arr[to]; 21 arr[to] = tmp; 22 } 23 24 //求解 i 的左孩子 25 private static int leftChild(int i){ 26 return 2*i + 1; 27 } 28 29 /** 30 * 31 * @param arr 存储堆的一维数组 32 * @param i 从 i 位置开始进行向下堆调整 33 * @param n 堆中元素的个数(不是数组的长度) 34 */ 35 private static <T extends Comparable<? super T>> void percDown(T[] arr, int i, int n){ 36 int child; 37 T tmp;//保存当前待调整的结点，当找到了合适的位置后，需要将之放入到合适位置，以保持堆序性质 38 39 for(tmp = arr[i]; leftChild(i) < n; i = child) 40 { 41 child = leftChild(i); 42 if(child != n-1 && arr[child].compareTo(arr[child+1]) < 0) 43 child++;//右孩子更大 44 if(tmp.compareTo(arr[child]) < 0) 45 arr[i] = arr[child];//父节点下移 46 else 47 break;//父节点比左右孩子都大时,不需要再向下移动了 48 } 49 arr[i] = tmp;//将节点放入合适的位置 50 } 51 52 //for test purpose 53 public static void main(String[] args) { 54 Integer[] arr = {31,41,59,26,53,58,97}; 55 heapSort(arr); 56 for (Integer i : arr) { 57 System.out.print(i + " "); 58 } 59 } 60 }
有几个细节地方解释一下：
①在第3行的heapSort方法中，第5-6行是建堆操作，因为数组中的元素是从下标0开始存储的，故最后一个非叶子结点的下标为：arr.length/2 - 1
②第9-14行是进行堆排序的操作。swapReference方法相当于删除堆顶元素，因为它把堆顶元素交换到数组的末尾去了，此时堆顶元素不再是最大值（大顶堆)。删除了堆顶元素之后，就要进行堆调整以保持堆序性质，故percDown方法 完成向下进行堆调整的功能。
③在堆调整的过程中，需要求解某个结点的左 右孩子结点的位置。故有一个leftChild方法用来求解左孩子的位置（注意元素是从数组下标0开始存储的）
④percDown方法实现向下的堆调整功能。第37行 tmp 变量 保存当前待调整的结点，当找到了合适的位置后，需要将之放入到合适位置，以保持堆序性质。对于建堆而言，待调整的结点是从 非叶结点 开始，直至根的那些结点。对于删除堆顶元素而言，则总是从堆顶元素起开始调整（待调整的结点是根）
⑤第39行的for循环实现得非常巧妙，首先tmp保存当前待调整的结点 arr[i]，然后判断 arr[i] 是否有左孩子，如果有左孩子的话，又在第42行的if语句中判断它是否还有右孩子(child != n-1)，然后左右孩子进行比较，child记录下权值大的那个孩子。
⑥第44-45行的if语句完成的功能是：将权值大的孩子与父结点比较，如果父结点的权值小，则需要将那个较大的孩子上移到父结点的位置（也相当于父结点下移到孩子的位置）
如果父结点的权值大，已经找到了合适的位置了。说明不需要再进行堆调整了，执行else break;
⑦第49行，就待调整的结点入到到合适的位置i处。整个过程并没有用交换操作，而是用的是赋值操作来隐式地实现了交换操作完成的功能，这是一个优化。
四，堆排序算法复杂度分析
对N个元素建堆的时间复杂度为O(N)，删除堆顶元素的时间复杂度为O(logN)，尽管随着元素的不断删除，堆的调度越来越小，但是总的而言，删除堆所有元素的时间复杂度为O(NlogN)
故堆排序的时间复杂度为O(NlogN)，空间复杂度为O(1)
其实，堆排序是一个非常稳定的算法，最坏和平均情况下的时间复杂度都为O(NlogN)
此外，对于堆排序而言，数据的初始顺序对它的复杂度没有影响。不管数组初始时就是有序的还是逆序的，它都会先建堆，变成了堆序的性质。
五，参考资料
