求解二叉树中两个结点的最低公共父结点
一，问题描述
构建一棵二叉树（不一定是二叉查找树），求出该二叉树中某两个结点的最低公共父结点。借用一张图如下：
结点8 和 结点5 的最低公共父结点为 结点2
二，二叉树的构建
与 求二叉树中第K层结点的个数 文章中的第二点：二叉树构建相同
三，求解最低公共父结点的算法实现
有两种思路，一种是通过中序遍历和后序遍历。由于中序遍历是先左子树中的结点，再访问根，再访问右子树中结点，因此这两个结点的公共父结点一定处于这两个结点之间。
如：中序遍历：8, 4, 9, 2, 5, 1, 6, 3, 7 结点2处于结点8 和 结点5 之间，也就是说：结点8 和 结点5 的最低公共父结点在 [8~5]之间的候选结点，这里为{4,9,2}中取
后序遍历是先访问左右子树中的结点，最后再访问根。故这两个结点的最低公共父结点一定处于 结点8 和 结点5 之后的结点，且是第一个出现在{4,9,2}中的那个结点。
后序遍历：8, 9, 4, 5, 2, 6, 7, 3, 1 8->9->4->5 这之后的结点，才可能是 结点8 和 结点5 的父结点。
另一种方法则是：递归，首先从树根开始考虑：
①结点A 和 结点B 要么都在树根的左子树中；②要么都在树根的右子树中；③要么一个在左子树中，一个在右子树中。
这是一个分治算法，对于情况①和②，可以继续递归分解。对于情况③属于代码第10行判断，复杂度为O(1)
递归表达式可表示为：T(N)=2T(N/2)+O(1)，解得T(N)=O(N)
对于③，最低公共父结点为树根。
对于①，可以进一步判断，从树根的左孩子结点考虑：
1)结点A 和 结点B 要么都在树根的左子孩子 的 左子树中；2)要么都在树根的左孩子 的 右子树中；3) 要么一个在树根的左孩子的 左子树中，一个在树根的左孩子 的 右子树中。
对于②，可以进一步判断，从树根的右孩子的结点考虑：
1)结点A 和 结点B 要么都在树根的右子孩子 的 左子树中；2)要么都在树根的右孩子 的 右子树中；3) 要么一个在树根的右孩子的 左子树中，一个在树根的右孩子 的 右子树中。
下面代码实现递归求解最低公共父结点。
四，代码实现（node1 node2 都是二叉树中的结点）
1 /** 2 * 求解node1 和 node2 的最低公共父结点 3 * @param node1 4 * @param node2 5 * @return 最低公共父结点 6 */ 7 public BinaryNode<T> commonNode(BinaryNode<T> node1, BinaryNode<T> node2, BinaryNode<T> root){ 8 if(root == null) 9 return null; 10 if(node1.element == root.element || node2.element == root.element) 11 return root; 12 /* 13 * 若 left==null, node1,node2 都不在 root.left子树中 14 * 若right==null,node1,node2 都不在root.right子树中 15 */ 16 BinaryNode<T> left = commonNode(node1, node2, root.left); 17 BinaryNode<T> right = commonNode(node1, node2, root.right); 18 19 if(left != null && right != null) 20 return root; 21 return left == null ? right : left; 22 }
根据程序中的第8行和第10行的if语句，可知：
1）若 left==null, 则说明 node1,node2 都不在 root.left子树中
2）若right==null,则说明 node1,node2 都不在root.right子树中
3）当对于某个结点，当执行了第16，17行的递归后 ,left 和 right 都不为空，说明node1 在 该结点.left子树中，node2 在 该结点.right子树中
故第19-20行，返回 该结点 作为公共父结点
例如，求结点8 和 结点5 的最低公共父结点：递归调用过程如下：
a)commNode(8,5,1)==2
b1) commNode(8,5,2)==2
c1) commNode(8,5,4)==8
d1) commNode(8,5,8)==8
d2) commNode(8,5,9)==null
c2) commNode(8,5,5)==5
b2) commNode(8,5,3)==null
a)生成了 b1) b2) 两个递归调用，其中 b2)为空，因为结点8，结点5 不在以3为根的子树中
b1)生成了 c1) c2)两个递归调用，其中 c2) 是commNode(8,5,5)，根据程序第10行if，返回5，而c1)又生成了 d1) d2)两个递归调用
其中，d1) 返回8，d2)返回null， 故执行到第21行语句，return 不空的那个left/right，也就是 d1) 返回的结点8
由于 c1)返回了5， c2)返回了8，都不为空，执行到第19-20行，返回它们的root，即，结点4和结点5的公共父结点：结点2
由于 b1) 生成了 c1) c2) 故 b1) 的值是结点2 又因为 b2) 为null
故 a) 最终是 b1) 的值，即为结点2
可把该方法放到求二叉树中第K层结点的个数 中 的完整代码给出的程序中进行测试。
五，参考资料
How to find the lowest common ancestor of two nodes in any binary tree?
附：求解二叉查找树的最低公共祖先结点：https://www.cnblogs.com/hapjin/p/5770596.html
