Nonhomogeneous PPP Poisson Point Process 空间泊松点过程 模拟生成过程 Simulation

均质空间泊松点过程经常应用在通信，生物调研等过程中。

非均质空间泊松点过程，它的生成原理介绍如下：

（1）首先生成一个关于总数的离散变量，N, 来自于一个泊松分布。

       已知各个位置的intensity \(\lambda(s)\), 得到一个平均intensity \(\bar{\lambda}= \int_{0}^{\infty} \lambda(s) ds\).

       \(P_N(n) = \frac{(\bar{\lambda})^n}{n!} exp(-\bar{\lambda})\)

       如果生成的\(N=0\),则没有下一步。如果\(N!=0\),进行第二步

（2）下面生成N个点的位置。假设N个点分别为\(x_1,\dots,x_N\),每一个点都是独立同分布的，他们最后出现的位置与区域内各个地方的intensity \(\lambda_s\)成正比

      \(P_X(s) = \frac{\lambda(s)}{\bar{\lambda(s)}} \text{for} s \in R^p \), \(p\)为空间过程的维数，二维空间里面\(p=2\)

 

最后，一次抽样的样本为一个无序集合\({x_1,\dots,x_N}\).

 

代码实现的时候，第二步直接从\(P_X(s)\)抽样不方便，因此采用拒绝性抽样（类似MCMC中抽样的方法），提出一个重要性函数\(g_X(s)\)，思路如下：

提出\(g_X(s)\),如\(g_X(s)=1/s\),从\(g_X(s)\)这个分布中抽一个样本，以概率\(t\)接受

\(t = \frac{p_X(s)/g_X(s)}{max_s {p_X(s)/g_X(s)}}\)

直到接受了\(N\)个样本为止.

 

伪代码如下：

 

参考：

Chap2 of Streit R L. The poisson point process[M]//Poisson Point Processes. Springer, Boston, MA, 2010: 11-55.