戏谈一道面试题

最近有同学面试的时候，被问了这么一道题：

说有A,B,C三个盒子，其中只有一个盒子里面有宝贝，但是你不知道是哪个盒子。现在你随机的拿过来一个盒子，但是你自己不能看你拿的盒子里是否是宝贝。现在你的对手翻开了剩下的两个盒子中的一个，并且是空盒子，即里面没有宝贝。现在问你：是否要用你手里的盒子去换剩下的那个没有被翻开过的盒子？

对于这个问题，可谓是争论不休。有人说不必要换，因为你手里的盒子是宝物的概率现在为1/2，和对手一样。又有一些人说，你手里的盒子是宝物的概率是1/3，而没有翻开的剩下的那个盒子是宝物的概率是2/3。同样一个问题，却有两种解释方法，并且看上去都有道理。那么为什么出现这种情况呢？如果我说大家争论的焦点与对手是否知道哪个盒子中有宝贝有关，你会感觉到意外吗？

在这里我给出的答案会让大家感觉到不可思议：如果你的对手也不知道哪个盒子里有宝贝，那么就没必要换。如果你的对手知道哪个盒子里面有宝贝，那么你就要换。

（1）给一个非常直观的解释。假设你和你的对手都不知道哪个盒子里面有宝贝，现在你随机选取一个盒子，那么他随机的翻开剩下的两个盒子中的一个。如果这样重复300次，你会发现其中有100次，对手会翻开一个有宝物的盒子，所以符合要求的局面只有200次。而你选择的那个盒子里有宝贝会出现100次，那么对手剩下的那个没翻开的盒子是宝贝的次数也是100次。在200次合法局面的大背景下，你手里的盒子中有宝贝的概率是1/2，对手没有翻开的那个盒子中有宝贝的概率也是1/2。那么这么看来，确实没必要交换。

（2）如果假设对手知道盒子里有宝贝，那么你就必须得换。按照上面的过程，重复300次，那么这300次全都是合法局面，因为我们前提是对手必须翻开一个没有宝贝的盒子。而你拿到宝贝的次数为100次，剩下的那个盒子里有宝贝的次数将是200次。所以，在300次合法局面的大背景下，你手里的盒子中有宝贝的概率为1/3，对手没有翻开的那个盒子有宝贝的概率为2/3。那么这么看来，确实要换。

从(1),(2)两种情况来看，概率的不同取决于对手知不知道哪个盒子中有宝贝，继而影响了合法局面的次数。那么，现在的问题是不论对手知不知道盒子中有宝贝，我们的最优策略是什么呢？

答案是：坚决要换。因为情况(1)中换和不换都没有差别，情况(2)中换比较合适，而你并不知道对手到底知不知道那个盒子里面有宝贝，那么换还是比较合适。

对于上面的解释可能并不是很理性，下面给出一个理论上得解释。

设事件X：我随机选取一个盒子，并且是宝贝。

   事件Y：对手随机翻开剩下的两个盒子中的一个，并且是空盒。

   事件Z： 桌子上剩下的那个没有翻开的盒子是宝贝。

那么(1)所描述的是一个条件概率即：Y事件发生时，X发生的概率。

显然P(X)=1/3, P(Y)=(1/3)*1+(2/3)*(1/2)=2/3，P(Z)=1/3*0+(2/3)*(1/2)=1/3

P(X|Y) = P(XY)/P(Y) = P(X)*P(Y|X)/P(Y) = (1/3)*1/(2/3)=1/2。

P(Z|Y) = P(ZY)/P(Y) = P(Z)*P(Y|Z)/P(Y) = (1/3)*1/(2/3)=1/2。

事件Y就是我说的那个合法局面的大背景。

而对于情况(2)

设事件X: 我随机选取一个盒子，并且是宝贝。

   事件Y: 对手必须翻开剩下的两个盒子中的一个空盒。

   事件Z: 桌子上剩下的那个没有翻开的盒子是宝贝。

显然P(X)=1/3, P(Y)=(1/3)*1+2/3*1=1 P(Z)=1/3*0+2/3*1=2/3

如果非得也用条件概率来说明的话：

P(X|Y) = P(XY)/P(Y) = P(X)*P(Y|X)/P(Y) = (1/3)*1/1=1/3。

P(Z|Y) = P(ZY)/P(Y) = P(Z)*P(Y|Z)/P(Y) = (2/3)*1/1=2/3。