推导基姆拉尔森公式根据日期计算星期

转自：http://topic.csdn.net/t/20050425/23/3966336.html

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        计算给定日期星期几好象是编程都会遇到的问题，最近论坛里也有人提到这个问题，并给出了一个公式： 
        W=   (d+2*m+3*(m+1)/5+y+y/4-y/100+y/400)   mod   7 
        (要求将1、2月当作上一年的13、14月来计算) 

        去看了看这个公式的原帖                         http://blog.csdn.net/ycrao/archive/2000/11/24/3825.aspx 
        其讲述的过程并不清楚，便想怎样自己推导出一个公式来，花了几个小时，总算是弄出来了，结果跟上面的公式一样：) 
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下面我们完全按自己的思路由简单到复杂一步步进行推导…… 

推导之前，先作两项规定： 
①用   y,   m,   d,   w   分别表示   年   月   日   星期(w=0-6   代表星期日-星期六 
②我们从   公元0年1月1日星期日   开始 


一、只考虑最开始的   7   天，即   d   =   1---7   变换到   w   =   0---6 
        很直观的得到: 
        w   =   d-1 

二、扩展到整个1月份 
        模7的概念大家都知道了，也没什么好多说的。不过也可以从我们平常用的日历中看出来，在周历里边每列都是一个按7增长的等差数列，如1、8、15、22的星期都是相同的。所以得到整个1月的公式如下： 
        w   =   (d-1)   %   7     ---------   公式⑴ 

三、按年扩展 
        由于按月扩展比较麻烦，所以将年扩展放在前面说 

        ①   我们不考虑闰年，假设每一年都是   365   天。由于365是7的52倍多1天，所以每一年的第一天和最后一天星期是相同的。 
        也就是说下一年的第一天与上一年的第一天星期滞后一天。这是个重要的结论，每过一年，公式⑴会有一天的误差，由于我们是从0年开始的，所以只须要简单的加上年就可以修正扩展年引起的误差，得到公式如下： 
        w   =   (d-1   +   y)   %   7   

        ②   将闰年考虑进去 
        每个闰年会多出一天，会使后面的年份产生一天的误差。如我们要计算2005年1月1日星期几，就要考虑前面的已经过的2004年中有多少个闰年，将这个误差加上就可以正确的计算了。 
        根据闰年的定义(能被4整但不能被100整除或能被400整)，得到计算闰年的个数的算式：y/4   -   y/100   +   y/400。 
        由于我们要计算的是当前要计算的年之前的闰年数，所以要将年减1，得到了如下的公式： 
        w   =   [d-1+y   +   (y-1)/4-(y-1)/100+(y-1)/400]   %   7   -----公式⑵ 

        现在，我们得到了按年扩展的公式⑵，用这个公式可以计算任一年的1月份的星期 

四、扩展到其它月 
        考虑这个问题颇费了一翻脑筋，后来还是按前面的方法大胆假才找到突破口。 

        ①现在我们假设每个月都是28天，且不考虑闰年 
        有了这个假设，计算星期就太简单了，因为28正好是7的整数倍，每个月的星期都是一样的，公式⑵对任一个月都适用   ：) 

        ②但假设终究是假设，首先1月就不是28天，这将会造成2月份的计算误差。1月份比28天要多出3天，就是说公式⑵的基础上，2月份的星期应该推后3天。 
        而对3月份来说，推后也是3天(2月正好28天，对3月的计算没有影响)。 
        依此类推，每个月的计算要将前面几个月的累计误差加上。 
        要注意的是误差只影响后面月的计算，因为12月已是最后一个月，所以不用考虑12月的误差天数，同理，1月份的误差天数是0，因为前面没有月份影响它。 

        由此，想到建立一个误差表来修正每个月的计算。 
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月     误差   累计     模7 
1       3         0           0 
2       0         3           3 
3       3         3           3 
4       2         6           6 
5       3         8           1 
6       2         11         4 
7       3         13         6 
8       3         16         2 
9       2         19         5 
10     3         21         0 
11     2         24         3 
12     -         26         5 
        (闰年时2月会有一天的误差，但我们现在不考虑) 
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        我们将最后的误差表用一个数组存放 
        在公式⑵的基础上可以得到扩展到其它月的公式 

        e[]   =   {0,3,3,6,1,4,6,2,5,0,3,5} 
        w   =   [d-1+y   +   e[m-1]   +   (y-1)/4-(y-1)/100+(y-1)/400]   %   7   --公式⑶ 

        ③上面的误差表我们没有考虑闰年，如果是闰年，2月会一天的误差，会对后面的3-12月的计算产生影响，对此，我们暂时在编程时来修正这种情况，增加的限定条件是如果当年是闰年，且计算的月在2月以后，需要加上一天的误差。大概代码是这样的： 
        
        w   =   (d-1   +   y   +   e[m-1]   +   (y-1)/4   -   (y-1)/100   +   (y-1)/400); 
        if(m> 2   &&   (y%4==0   &&   y%100!=0   ||   y%400==0)   &&   y!=0) 
                ++w; 
        w   %=   7; 
        
        现在，已经可以正确的计算任一天的星期了。 
        注意：0年不是闰年，虽然现在大都不用这个条件，但我们因从公元0年开始计算，所以这个条件是不能少的。 

        ④   改进 
        公式⑶中，计算闰年数的子项   (y-1)/4-(y-1)/100+(y-1)/400   没有包含当年，如果将当年包含进去，则实现了如果当年是闰年，w   自动加1。 
        由此带来的影响是如果当年是闰年，1,2月份的计算会多一天误差，我们同样在编程时修正。则代码如下 
        
        w   =   (d-1   +   y   +   e[m-1]   +   y/4   -   y/100   +   y/400);   ----   公式⑷ 
        if(m <3   &&   (y%4==0   &&   y%100!=0   ||   y%400==0)   &&   y!=0) 
                --w; 
        w   %=   7; 
        
        与前一段代码相比，我们简化了   w   的计算部分。 
        实际上还可以进一步将常数   -1   合并到误差表中，但我们暂时先不这样做。 
        
        至此，我们得到了一个阶段性的算法，可以计算任一天的星期了。 

public   class   Week   { 
        public   static   void   main(String[]   args){ 
                int   y   =   2005; 
                int   m   =   4; 
                int   d   =   25; 
                
                int   e[]   =   new   int[]{0,3,3,6,1,4,6,2,5,0,3,5}; 
                int   w   =   (d-1+e[m-1]+y+(y> > 2)-y/100+y/400); 
                if(m <3   &&   ((y&3)==0   &&   y%100!=0   ||   y%400==0)   &&   y!=0){ 
                        --w; 
                } 
                w   %=   7; 
                
                System.out.println(w); 
        } 
} 

五、简化 
        现在我们推导出了自己的计算星期的算法了，但还不能称之为公式。 
        所谓公式，应该给定年月日后可以手工算出星期几的，但我们现在的算法需要记住一个误差表才能进行计算，所以只能称为一种算法，还不是公式。 
        下面，我们试图消掉这个误差表…… 

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        消除闰年判断的条件表达式 
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        由于闰年在2月份产生的误差，影响的是后面的月份计算。如果2月是排在一年的最后的话，它就不能对其它月份的计算产生影响了。可能已经有人联想到了文章开头的公式中为什么1,2月转换为上年的13,14月计算了吧   ：)

        就是这个思想了，我们也将1,2月当作上一年的13,14月来看待。 
        由此会产生两个问题需要解决： 
        1> 一年的第一天是3月1日了，我们要对   w   的计算公式重新推导 
        2> 误差表也发生了变化，需要得新计算 

        ①推导   w   计算式 
            1>   用前面的算法算出   0年3月1日是星期3 
                  前7天,   d   =   1---7     ===>     w   =   3----2 
                  得到   w   =   (d+2)   %   7 
                  此式同样适用于整个三月份 
            2>   扩展到每一年的三月份 
                  [d   +   2   +   y   +   (y-1)/4   -   (y-1)/100   +   (y-1)/400]   %   7 

        ②误差表 
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月     误差   累计     模7 
3       3         0           0 
4       2         3           3 
5       3         5           5 
6       2         8           1 
7       3         10         3 
8       3         13         6 
9       2         16         2 
10     3         18         4 
11     2         21         0 
12     3         23         2 
13     3         26         5 
14     -         29         1 
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        ③得到扩展到其它月的公式 
        e[]   =   {0,3,5,1,3,6,2,4,0,2,5,1} 
        w   =   [d+2   +   e[m-3]   +y+(y-1)/4-(y-1)/100+(y-1)/400]   %   7 
        (3   <=   m   <=   14) 

        我们还是将   y-1   的式子进行简化 
        w   =   [d+2   +   e[m-3]   +y+y/4-y/100+y/400]   %   7 
        (3   <=   m   <=   14) 

        这个式子如果当年是闰年，会告成多1的误差 
        但我们将1,2月变换到上一年的13,14月，年份要减1，所以这个误差会自动消除，所以得到下面的算法： 

        int   e[]   =   new   int[]{0,3,5,1,3,6,2,4,0,2,5,1}; 
        if(m   <   3)   { 
                m   +=   12; 
                --y; 
        } 
        int   w   =   (d+2   +   e[m-3]   +y+(y/4)-y/100+y/400)   %   7;   -----公式⑸ 

        我们可以看到公式⑸与公式⑷几乎是一样的，仅仅是误差天和一个常数的差别 
        常数的区别是由起始日期的星期不同引起的，0年1月1日星期日，0年3日1日星期三，有三天的差别，所以常数也从   -1   变成了   2。 

        现在，我们成功的消除了繁琐的闰年条件判断。 


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        消除误差表 
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        假如存在一种m到e的函数映射关系，使得 
                e[m-3]   =   f(m) 
        则我们就可以用   f(m)   取代公式⑸中的子项   e[m-3]，也就消除了误差表。 

        由于误差表只有12个项，且每一项都可以加减   7n   进行调整，这个函数关系是可以拼凑出来的。但是这个过程可能是极其枯燥无味的，我现在不想自己去推导它，我要利用前人的成果。所谓前人栽树，后人乘凉嘛   ：)

        文章开头开出的公式中的   2*m+3*(m+1)/5   这个子项引起了我的兴趣 

        经过多次试试验，我运行下面的代码 

        for(m=1;   m <=14;   ++m) 
                System.out.print((-1+2*m+3*(m+1)/5)%7   +   "   "); 
        System.out.println(); 

        天哪，输出结果与我的误差表不谋而合，成功了，哈哈 

        2   4   0   3   5   1   3   6   2   4   0   2   5   1 
        Press   any   key   to   continue... 

        上面就是输出结果，看它后面的12项，与我的误差表完全吻合!!! 

        现在就简单的，将   f(m)   =   -1   +   2*m   +   3*(m+1)/5   代入公式⑸，得到 

        w   =   (d+1+2*m+3*(m+1)/5+y+(y/4)-y/100+y/400)   %   7   ----公式6 
        约束条件:   m=1,m=2   时   m=m+12,y=y-1; 

        现在，我们得到了通用的计算星期的公式，并且“完全”是按自己的思想推导出来的(那个函数映射关系不算)，只要理解了这个推导的步骤，即使有一天忘记了这个公式，也可以重新推导出来! 

        可能有人会注意到公式⑹与文章开头的公式相差一个常数   1，这是因为原公式使用数字0--6表示星期一到星期日，而我用0--6表示星期日到星期六。实际上是一样，你可以改成任意你喜欢的表示方法，只需改变这个常数就可以了。 


六、验证公式的正确性。 

        一个月中的日期是连续的，只要有一天对的，模7的关系就不会错，所以一个月中只须验证一天就可以了，一天需要验12天。由于扩展到年和月只跟是否闰年有关系，就是说至少要验证一个平年和一个闰年，也就是最少得验证24次。 
        我选择了   2005   年和   2008   年，验证每个月的1号。 
测试代码如下： 

class   test   { 
        public   int   GetWeek(int   y,   int   m,   int   d)   { 
                if(m <3)   { 
                        m   +=   12; 
                        --y; 
                } 
                int   w   =   (d+1+2*m+3*(m+1)/5+y+(y> > 2)-y/100+y/400)   %   7; 
                return   w; 
        } 
} 

public   class   Week   { 
        public   static   void   main(String[]   args){ 
                int   y   =   2005; 
                int   m   =   1; 
                int   d   =   1; 
                
                test   t   =   new   test(); 
                String   week[]   =   new   String[]{ 
                        "星期日 ", "星期一 ", "星期二 ", "星期三 ", "星期四 ", "星期五 ", "星期六 " 
                }; 
                
                for(y=2005;   y <=2008;   y+=3)   { 
                        for(m=1;   m <=12;   ++m)   { 
                                String   str   =   y   +   "- "   +   m   +   "- "   +   d   +   "\t "   +   week[t.GetWeek(y,m,d)]; 
                                System.out.println(str); 
                        } 
                } 
        } 
} 

查万年历，检查程序的输出，完全正确。 

七、后话 

        我们这个公式的推导是以0年3月1日为基础的，对该日以后的日期都是可以计算的。但是否可以扩展到公元前(1,2已属于公元前1年的13,14月了)呢？ 

        虽然我对0年1月和2月、以及公元前1年(令y=-1)的12月作了验证是正确的，但我在推导这个公式时并未想到将其扩展到公元前，所以上面的推导过程没有足够理论依据可以证明其适用于公元前。(负数的取模在不同的编译器如C++中好象处理并不完全正确)。 

        另外一有点是对于0年是否存在的争议，一种折中的说法是0年存在，但什么也没有发生，其持续时间为0。还有在罗马的格利戈里历法中有10天是不存的(1582年10月5日至14持续时间为0)，英国的历法中有11天(1752年9月3日至13日)是不存在的。感兴趣的朋友可以看看这里： 
        http://www.whtv.com.cn/zhuanti/celebration/when/wz16.htm 

        但是我们做的是数字计算，不管那一天是否存在，持续的时间是24小时还是23小时甚至是0小时，只要那个号码存在，就有一个星期与之对应。所以这个公式仍然是适用的。 
        如果要计算的是时间段，就必须考虑这个问题了。