浅谈缩点

前置芝士：Tarjan求强连通分量

对于一个有向图中的两个点，对于\(V_i->V_j\)有一条边且\(V_j->V_i\)有一条边（即能互相到达），就是一个强连通分量（不局限于两个点）

我们可以用\(Tarjan\)求出一个有向图中所有的强连通分量。

那么，在一些图中可以将强连通分量缩成一个点。并对它做一个标记。

例题：\(Luogu\) \(P3387\)

对于这道题，我们求路径的时候，在一个强连通分量重，既然可以互相到达，而且图中求的是最大的路径，所以我们直接将它缩成一个点，累计其中的权值和即可。

缩点时，我们可以做一个标记，将一个环标记为一个点，为了方便就取\(Tarjan\)中强连通分量重遇到的第一个点（栈底的那个）作为编号。

那么我们连边的时候，就可以多记录一下一条边的两端的点。缩完点的时候，重新连一遍图，这时候我们维护的就需要用到了。

对于原来两条边的点，如果不在一个强连通分量中，就链接一遍。

怎么求最大路径？

我们设\(dis[i]\)是以\(i\)为起点的最长路径，则：

遍历一遍点\(i\)连的点\(j\)，则：

\(dis[j]=max(dis[j],dis[i]+val[j])\)，\(val[j]\)为j所在环内的权值和（或者说\(j\)的点权）

最后对所有点取一遍最大值即可。

\(Code:\)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int MAXN=500000;
int id,si[MAXN],head[MAXN],n,m,cnt,tot,val[MAXN],count,h[MAXN];
int low[MAXN],dfn[MAXN],top,st[MAXN],inst[MAXN],in[MAXN],dis[MAXN];
struct edge{
	int nxt,to,pre;
}e[MAXN],g[MAXN];
inline void add(int x,int y){
	e[++tot].nxt=head[x];
	e[tot].to=y;
	e[tot].pre=x;//记录边的两点 
	head[x]=tot;
}
inline void kdd(int x,int y){
	g[++count].nxt=h[x];
	g[count].to=y;
	g[count].pre=x;//同上 
	h[x]=count;
}
void Tarjan(int x){
	st[++top]=x;low[x]=dfn[x]=++id;inst[x]=1;
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt){
		int j=e[i].to;
		if(!dfn[j]){
			Tarjan(j);
			low[x]=min(low[x],low[j]);
		}
		else if(inst[j])low[x]=min(low[x],dfn[j]);
	}//正常Tarjan求强连通分量 
	if(low[x]==dfn[x]){
		int y;
		while(y=st[top--]){
			si[y]=x;//这里是把这个环都标记为x 
			inst[y]=0;//弹出栈了就标记一下 
			if(x==y)break;//找完了就跳出 
			val[x]+=val[y];//累计环内权值 
		}
	}
}
int solve(){
	queue<int>q;//队列维护一下 
	for(int i=1;i<=n;++i){
		if(si[i]==i&&!in[i]){//对于一个点如果它是这个环的编号且入度为0 
			q.push(i);//加入队列 
			dis[i]=val[i];//初始当然是环内权值和 
		}
	}
	while(!q.empty()){//如果队列非空就继续 
		int k=q.front();q.pop();//队头，弹出 
		for(int i=h[k];i;i=g[i].nxt){//链式前向星 
			int j=g[i].to;
			dis[j]=max(dis[j],dis[k]+val[j]);//对于一个点，能连接的就更新一下 
			in[j]--;//j更新完去掉一个入度 
			if(!in[j])q.push(j);//拓扑排序，可以了就入队 
		}
	}
	int Ans=0;//取Max做答案 
	for(int i=1;i<=n;++i)Ans=max(Ans,dis[i]);
	return Ans;//完结撒花 
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&val[i]);
	for(int i=1,x,y;i<=m;++i){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y);
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)if(!dfn[i])Tarjan(i);//每一个没有遍历到的点Tarjan一遍 
	for(int i=1;i<=m;++i){
		int ii=e[i].pre,jj=e[i].to;//边的两端 
		int x=si[ii],y=si[jj];//对于每一条边求出它们所在的环 
		if(x!=y){//不在同一条边就连边 
			kdd(x,y);//缩完点之后重新连边 
			in[y]++;//入度++ 
		}
	}
	printf("%d\n",solve());
	return 0;
}