洛谷试炼场-简单数学问题-P1045 麦森数-高精度快速幂

洛谷试炼场-简单数学问题

B--P1045 麦森数

Description

形如2^{P−1的素数称为麦森数，这时P一定也是个素数。但反过来不一定，即如果PP是个素数，2}P-1
不一定也是素数。到1998年底，人们已找到了37个麦森数。最大的一个是P=3021377P=3021377，它有909526位。麦森数有许多重要应用，它与完全数密切相关。

任务：从文件中输入PP（1000<P<31000001000<P<3100000），计算2^P-1 的位数和最后500位数字（用十进制高精度数表示）

Input

共三行。
文件中只包含一个整数P（1000<P<3100000）

Output

第一行：十进制高精度数2^P-1的位数。

第2-11行：十进制高精度数2^P-1的最后500位数字。（每行输出50位，共输出10行，不足500位时高位补0）

不必验证2^P-1 与P是否为素数。

Sample Input

5
3
1 2 3 4 5

Sample Output

386
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000104079321946643990819252403273640855
38615262247266704805319112350403608059673360298012
23944173232418484242161395428100779138356624832346
49081399066056773207629241295093892203457731833496
61583550472959420547689811211693677147548478866962
50138443826029173234888531116082853841658502825560
46662248318909188018470682222031405210266984354887
32958028878050869736186900714720710555703168729087

Hint

noip2003普及组

题解：

这个题首先求麦森数的位数。
（1）我们知道，对于一个十进制数n来说log10（n）位其位数，现在求2^{P-1的位数，因为2}P的末尾数一定不为0，那么2^P-1与2P位数相同，则其位数为log10（2^P），这样计算也颇为麻烦。
（2）我们不妨设k=2^p ，根据10^n 的位数为n+1 ，我们只要想办法把k=2^{p中的底数2改为10，指数加一就是位数了。由此想到用10的几次方来代替2，那么就不难想到10}(log10(2)=2) ，这样便可以把 中的2代换掉，变为 。根据乘方的原理，将p乘进去，原式便可化为我们最终想要的形式了，所以位数就是log10(2)*p+1 。（提醒一下，C++中cmath库自带log10()函数...）
然后利用裸的高精快速幂

代码

#include <iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
int p;
int f[1001],res[1001],sav[1001];//乘法开两倍
void big_pow_1()
{
    memset(sav,0,sizeof(sav));
    for(int i=1;i<=500;++i)//保存最后500位
        for(int j=1;j<=500;++j)
        sav[i+j-1]+=res[i]*f[j];//先计算每一位的值
        for(int i=1;i<=500;++i)
        {
            sav[i+1]+=sav[i]/10;//单独处理进位问题
            sav[i]%=10;
        }
        memcpy(res,sav,sizeof(res));//sav赋给res
}
void big_pow_2()
{
    memset(sav,0,sizeof(sav));
    for(int i=1;i<=500;++i)
        for(int j=1;j<=500;++j)
        sav[i+j-1]+=f[i]*f[j];
    for(int i=1;i<=500;i+=1)
    {
        sav[i+1]+=sav[i]/10;
    sav[i]%=10;
    }
    memcpy(f,sav,sizeof(f));

}
void quick_big_pow()//快速幂模板
{
    //高精度赋初值
    res[1]=1;//底数
    f[1]=2; //指数
    while(p!=0)
    {
        if(p%2==1)big_pow_1();
        p/=2;
        big_pow_2();
    }
}
int main()
{
    cin>>p;
    cout<<(int)(log10(2)*p+1)<<endl;
    quick_big_pow();
   res[1]-=1;
   for(int i=500;i>=1;i--)
   {
       if(i!=500&&(i-1)%50==0)cout<<sav[i]<<endl;
       else cout<<sav[i];
   }
    return 0;
}