函数的单调性与最值

定义

函数单调性：

单调增

一般地，设函数$y=f(x)$的定义域为$A$，区间$I\subseteq A$

如果对于区间$I$内的任意两个值$x_1$，$x_2$，当$x_1< x_2$时，都有

$$f(x_1)<f(x_2)$$

那么就说$y=f(x)$在单调区间$I$上时单调增函数，$I$称为$y=f(x)$的单调增区间

 单调减

一般地，设函数$y=f(x)$的定义域为$A$，区间$I\subseteq A$

如果对于区间$I$内的任意两个值$x_1$，$x_2$，当$x_1> x_2$时，都有

$$f(x_1)>f(x_2)$$

那么就说$y=f(x)$在单调区间$I$上是单调减函数，$I$称为$y=f(x)$的单调减区间

函数最值：

最大值

一般地，设函数$y=f(x)$的定义域为$A$

如果存在$x_0\in A$，使得对于任意的$x \in A$，都有

$$f(x)\leq f(x_0)$$

那么就说$f(x_0)$为$y=f(x)$的最大值，记为

$$y_{max}=f(x_0)$$

最小值

一般地，设函数$y=f(x)$的定义域为$A$

如果存在$x_0\in A$，使得对于任意的$x \in A$，都有

$$f(x)\leq f(x_0)$$

那么就说$f(x_0)$为$y=f(x)$的最大值，记为

$$y_{max}=f(x_0)$$

解题

求函数的单调区间：

设$x_1<x_2$属于某个区间，证明$x_1$有固定的大小关系$x_2$

求函数最值的方法：

配方法、单调性法、判别式法、单调性法、不等式法、换元法

根据单调性求参数取值范围：

主要方法是先设$x_1<x_2$，根据定义用参数表示出单调区间，然后反推出参数值

这类题目往往是二次函数，和二次函数相关的题目要优先判断是否为二次函数