二维数组最大值

1.题目：返回一个二维整数数组中最大子数组的和。

要求：

输入一个二维整形数组，数组里有正数也有负数。

二维数组中连续的一个子矩阵组成一个子数组，每个子数组都有一个和。

求所有子数组的和的最大值。要求时间复杂度为O(n)。

2.设计思路

我们刚开始时是这么想的：就是最笨的方法：求每一个子矩阵的和，然后找最大值，我们知道这种方法会比较麻烦。后来我们联想到了上次写的一维数组，就想把二维数组转化为一维数组，然后按照一维数组的方法来做。

那么问题来了，把二维数组转化为一维数组后，怎么可以保证是连续的一个子矩阵组成一个子数组，经过我们几天的冥思苦想，加上网上的参考，我们思路通了，设计了如下思路：

假设已经确定了矩阵区域的上下边界，不如知道矩阵区域的上下边界分布是第n1行和第n2行，接下来要确定左右边界。我们把第n1行和第n2行之间的每一列看成一个整体，相当于一维数组中的一个元素（通过子矩阵部分和可以在O(1)时间内计算出整体之和）。

3.源代码

#include <iostream>
#include<time.h>
using namespace std;
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define MAXN 100

int A[MAXN][MAXN];
int PartSum[MAXN][MAXN];

//计算子矩阵的和
int MatrixSum(int s, int t, int i, int j)
{
	return PartSum[i][j] - PartSum[i][t - 1] - PartSum[s - 1][j] + PartSum[s - 1][t - 1];
}

int main()
{
	srand((unsigned)time(NULL));
	int row, col, i, j;
	cout << "请输入二维数组的行数和列数:";
	cin >> row >> col;
	for (i = 1; i <=row; i++)
	{
		for (j = 1; j <=col; j++)
		{
			A[i][j] = rand() % 20 - 10;
			cout << A[i][j] << " ";
		}
		cout << endl;
	}
	for (i = 0; i <= row; i++)
		PartSum[i][0] = 0;
	for (j = 0; j <= col; j++)
		PartSum[0][j] = 0;
	// 计算矩阵的部分和
	for (i = 1; i <= row; i++)
	for (j = 1; j <= col; j++)
		PartSum[i][j] = A[i][j] + PartSum[i - 1][j] + PartSum[i][j - 1] - PartSum[i - 1][j - 1];
	int n1, n2;
	int maxsofar = A[1][1];
	for (n1 = 1; n1 <= row; n1++)
	for (n2 = n1; n2 <= row; n2++)
	{
		// 将子矩阵上下边界设为第n1行和第n2行，在这些子矩阵中取最大值,类似于一维数组求最大值
		int maxendinghere = MatrixSum(n1, 1, n2, 1);
		for (j = 2; j <= col; j++)
		{
			maxendinghere = max(MatrixSum(n1, j, n2, j), MatrixSum(n1, j, n2, j) + maxendinghere);
			maxsofar = max(maxendinghere, maxsofar);
		}
	}
	cout << maxsofar;
}

4.程序截图

5.总结

通过这次程序，我们对结对开发有了了解，虽然在其中也会有争执，但是两个人的智慧要高于一个人。对于这个程序，我们只能部分代码实现时间复杂度为O(n)，我们已经尽可能的减少了时间复杂度。对于程序的思路，我们应该学会多角度思考问题，学会把整体化为部分，由部分来实现程序的要求。

6.合作过程

在这次结对开发中，我负责提供思路和代码复审和代码测试计划，朱慧敏负责程序分析，代码编程。我们在讨论思路时发生了冲突，感觉每个人的想法都比较好，发生了冲突，这时我们停止讨论，出去大吃了一顿，回来后继续讨论。这样的学习方法既完成了作业也增进了我们的友谊，不错的方法。