BZOJ 3971 Матрёшка 解题报告

很自然想到区间 DP。

设 $Dp[i][j]$ 表示把区间 $[i, j]$ 内的套娃合并成一个所需要的代价，那么有：

• $Dp[i][i] = 0$
• $Dp[i][j] = min\{Dp[i][k] + Dp[k + 1][j] + Merge([i, k], [k + 1, j])\} (i \le k < j)$

于是问题在于算 $Merge([a, b], [c, d])$。

我们考虑一下：区间 $[a, b]$ 内的哪些套娃是需要打开的：

是不是 $[a, b]$ 中所有大于 $[c, d]$ 中最小的套娃都需要打开，来装 $[c, d]$ 中最小的套娃呢？

$[c, d]$ 同理。

于是我们可以预处理 $Sum[i][x]$ 为在前 $i$ 个套娃中，大小 $\le x$ 的套娃的个数，

那么就可以 $O(1)$ 地算 $Merge([a, b], [c, d])$ 了。

有一个问题，如果在 $[a, b]$、$[c, d]$ 中有相同大小的套娃怎么办？

不着急，先往下看。

处理完 $Dp[i][j]$ 后，我们再设立一个 $F[i]$ 表示把前 $i$ 个套娃装成若干个完好的套娃集所需代价的最小值，那么就有：

• $F[i] = min(F[j] + Dp[j + 1][i]) (mex([j + 1, i]) = i - j + 1)$
• $mex([u, v]) = min(x) (x\notin \{A_u, A_{u+1}, \dots, A_v\})$

当然，如果不能找到合法的转移点，那么令 $F[i] = INF$。

然后对于一个合法的方案，不可能出现相同大小的套娃被装进同一个套娃内的情况，

所以 $[a, b]$、$[c, d]$ 中有相同大小的套娃的话，那么这个区间一定不合法，所以我们大可不必考虑那么多了。

于是最后看 $F[n]$ 就可以了。令 $M = max\{A_i\}$

时间复杂度 $O(n^3 + n^2M)$，空间复杂度 $O(n^2 + nM)$。

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 500 + 5
#define INF 593119681

int n, Max;
int A[N], _Dp[N], T[N];
int Sum[N][N], Dp[N][N], Mex[N][N], Min[N][N];

inline void Prepare()
{
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        Sum[i][A[i]] ++;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= Max; j ++)
            Sum[i][j] += Sum[i][j - 1] + Sum[i - 1][j] - Sum[i - 1][j - 1];
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for (int j = 1; j <= Max; T[j ++] = 0) ;
        for (int j = i; j <= n; j ++)
        {
            T[A[j]] ++;
            for (Mex[i][j] = 1; T[Mex[i][j]]; Mex[i][j] ++) ;
            Min[i][j] = i == j ? A[i] : min(Min[i][j - 1], A[j]);
        }
    }
}

inline int Calc(int l, int mid, int r)
{
    int min_1 = Min[l][mid], res = Sum[r][Max] - Sum[mid][Max] - Sum[r][min_1] + Sum[mid][min_1];
    min_1 = Min[mid + 1][r], res += Sum[mid][Max] - Sum[l - 1][Max] - Sum[mid][min_1] + Sum[l - 1][min_1];
    return res;
}

int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("3971.in", "r", stdin);
        freopen("3971.out", "w", stdout);
    #endif
    
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        scanf("%d", A + i);
        Max = max(Max, A[i]);
    }
    Prepare();
    for (int len = 0; len < n; len ++)
        for (int s = 1; s + len <= n; s ++)
        {
            int i = s, j = s + len;
            if (i == j) Dp[i][j] = 0;
            else
            {
                Dp[i][j] = INF;
                for (int k = i; k < j; k ++)
                    Dp[i][j] = min(Dp[i][j], Dp[i][k] + Dp[k + 1][j] + Calc(i, k, j));
            }
        }
    for (int i = 1; i <= n; i ++) _Dp[i] = INF;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 0; j < i; j ++)
            if (Mex[j + 1][i] == i - j + 1)
                _Dp[i] = min(_Dp[i], _Dp[j] + Dp[j + 1][i]);
    if (_Dp[n] >= INF) puts("Impossible");
        else printf("%d\n", _Dp[n]);
    
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        fclose(stdin);
        fclose(stdout);
    #endif
    return 0;
}