[LeetCode] 633. Sum of Square Numbers 平方数之和

Given a non-negative integer c, your task is to decide whether there're two integers a and b such that a2 + b2 = c.

Example 1:

Input: 5
Output: True
Explanation: 1 * 1 + 2 * 2 = 5

Example 2:

Input: 3
Output: False

这道题让我们求一个数是否能由平方数之和组成，刚开始博主没仔细看题，没有看到必须要是两个平方数之和，博主以为任意一个就可以。所以写了个带优化的递归解法，博主已经不是上来就无脑暴力破解的辣个青葱骚年了，直接带优化。可是居然对 14 返回 false，难道 14 不等于 1+4+9 吗，结果仔细一看，必须要两个平方数之和。好吧，那么递归都省了，直接判断两次就行了。我们可以从c的平方根，注意即使c不是平方数，也会返回一个整型数。然后我们判断如果 i*i 等于c，说明c就是个平方数，只要再凑个0，就是两个平方数之和，返回 true；如果不等于的话，那么算出差值 c - i*i，如果这个差值也是平方数的话，返回 true。遍历结束后返回 false，参见代码如下：

解法一：

class Solution {
public:
    bool judgeSquareSum(int c) {
        for (int i = sqrt(c); i >= 0; --i) {
            if (i * i == c) return true;
            int d = c - i * i, t = sqrt(d);
            if (t * t == d) return true;
        }
        return false;
    }
};

下面这种方法用到了 HashSet，从0遍历到c的平方根，对于每个i*i，都加入 HashSet 中，然后计算 c - i*i，如果这个差值也在 HashSet 中，返回 true，遍历结束返回 false，参见代码如下：

解法二：

class Solution {
public:
    bool judgeSquareSum(int c) {
        unordered_set<int> s;
        for (int i = 0; i <= sqrt(c); ++i) {
            s.insert(i * i);
            if (s.count(c - i * i)) return true;
        }
        return false;
    }
};

上面两种方法都不是很高效，来看下面这种高效的解法。论坛上有人称之为二分解法，但是博主怎么觉得不是呢，虽然样子很像，但是并没有折半的操作啊。这里用a和b代表了左右两个范围，分别为0和c的平方根，然后 while 循环遍历，如果 a*a + b*b 刚好等于c，那么返回 true；如果小于c，则a增大1；反之如果大于c，则b自减1，参见代码如下：

解法三：

class Solution {
public:
    bool judgeSquareSum(int c) {
        long a = 0, b = sqrt(c);
        while (a <= b) {
            if (a * a + b * b == c) return true;
            else if (a * a + b * b < c) ++a;
            else --b;
        }
        return false;
    }
};

下面这种解法基于费马平方和定理 Fermat's theorem on sums of two squares 的一般推广形式：当某个数字的 4k+3 型的质数因子的个数均为偶数时，其可以拆分为两个平方数之和（each prime that is congruent to 3 mod 4 appears with an even exponent in the prime factorization of the number）。那么我们只要统计其质数因子的个数，并且判读，若其为 4k+3 型且出现次数为奇数的话直接返回 false。这里，我们从2开始遍历，若能整除2，则计数器加1，并且c也要除以2。这样我们找到都会是质数因子，因为非质数因子中的因子已经在之前被除掉了，这也是个 trick，需要自己好好想一下。最终在循环退出后，我们还要再判断一下，若剩余的质数因子还是个 4k+3 型，那么返回 false，否则返回 true，参见代码如下：

解法四：

class Solution {
public:
    bool judgeSquareSum(int c) {
        for (int i = 2; i * i <= c; ++i) {
            if (c % i != 0) continue;
            int cnt = 0;
            while (c % i == 0) {
                ++cnt;
                c /= i;
            }
            if (i % 4 == 3 && cnt % 2 != 0) return false;
        }
        return c % 4 != 3;
    }
};