[LeetCode] 377. Combination Sum IV 组合之和之四

Given an array of distinct integers nums and a target integer target, return the number of possible combinations that add up to target.

The answer is guaranteed to fit in a 32-bit integer.

Example 1:

Input: nums = [1,2,3], target = 4
Output: 7
Explanation:
The possible combination ways are:
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)
Note that different sequences are counted as different combinations.

Example 2:

Input: nums = [9], target = 3
Output: 0

Constraints:

1 <= nums.length <= 200
1 <= nums[i] <= 1000
All the elements of nums are unique.
1 <= target <= 1000

Follow up: What if negative numbers are allowed in the given array? How does it change the problem? What limitation we need to add to the question to allow negative numbers?

Credits:
Special thanks to @pbrother for adding this problem and creating all test cases.

这道题是组合之和系列的第四道，博主开始想当然的以为还是用递归来解，结果写出来发现 TLE 了，的确 OJ 给了一个 test case 为 [4,1,2] 32，这个结果是 39882198，用递归需要好几秒的运算时间，实在是不高效，估计这也是为啥只让返回一个总和，而不是返回所有情况，不然机子就爆了。而这道题的真正解法应该是用 DP 来做，解题思想有点像之前爬梯子的那道题 Climbing Stairs，这里需要一个一维数组 dp，其中 dp[i] 表示目标数为i的解的个数，然后从1遍历到 target，对于每一个数i，遍历 nums 数组，如果 i>=x, dp[i] += dp[i - x]。这个也很好理解，比如说对于 [1,2,3] 4，这个例子，当计算 dp[3] 的时候，3可以拆分为 1+x，而x即为 dp[2]，3也可以拆分为 2+x，此时x为 dp[1]，3同样可以拆为 3+x，此时x为 dp[0]，把所有的情况加起来就是组成3的所有情况了，参见代码如下：

解法一：

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        vector<int> dp(target + 1);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= target; ++i) {
            for (auto a : nums) {
                if (i >= a) dp[i] += dp[i - a];
            }
        }
        return dp.back();
    }
};

如果 target 远大于 nums 数组的个数的话，上面的算法可以做适当的优化，先给 nums 数组排个序，然后从1遍历到 target，对于i小于数组中的数字x时，直接 break 掉，因为后面的数更大，其余地方不变，参见代码如下：

解法二：

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        vector<int> dp(target + 1);
        dp[0] = 1;
        sort(nums.begin(), nums.end());
        for (int i = 1; i <= target; ++i) {
            for (auto a : nums) {
                if (i < a) break;
                dp[i] += dp[i - a];
            }
        }
        return dp.back();
    }
};

我们也可以使用递归+记忆数组的形式，不过这里的记忆数组用的是一个 HashMap。在递归函数中，首先判断若 target 小于0，直接返回0，若 target 等于0，则返回1。若当前 target 已经在 memo 中存在了，直接返回 memo 中的值。然后遍历 nums 中的所有数字，对每个数字都调用递归，不过此时的 target 要换成 target-nums[i]，然后将返回值累加到结果 res 中即可，参见代码如下：

解法三：

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        unordered_map<int, int> memo;
        return helper(nums, target, memo);
    }
    int helper(vector<int>& nums, int target, unordered_map<int, int>& memo) {
        if (target < 0) return 0;
        if (target == 0) return 1;
        if (memo.count(target)) return memo[target];
        int res = 0, n = nums.size();
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            res += helper(nums, target - nums[i], memo);
        }
        return memo[target] = res;
    }
};