[LeetCode] 367. Valid Perfect Square 检验完全平方数

Given a positive integer num, write a function which returns True if num is a perfect square else False.

Note: Do not use any built-in library function such as sqrt.

Example 1:

Input: 16
Returns: True

Example 2:

Input: 14
Returns: False

Credits:
Special thanks to @elmirap for adding this problem and creating all test cases.

这道题给了我们一个数，让我们判断其是否为完全平方数，那么显而易见的是，肯定不能使用 brute force，这样太不高效了，那么最小是能以指数的速度来缩小范围，那么我最先想出的方法是这样的，比如一个数字 49，我们先对其除以2，得到 24，发现 24 的平方大于 49，那么再对 24 除以2，得到 12，发现 12 的平方还是大于 49，再对 12 除以2，得到6，发现6的平方小于 49，于是遍历6到 12 中的所有数，看有没有平方等于 49 的，有就返回 true，没有就返回 false，参见代码如下：

解法一：

class Solution {
public:
    bool isPerfectSquare(int num) {
        if (num == 1) return true;
        long x = num / 2, t = x * x;
        while (t > num) {
            x /= 2;
            t = x * x;
        }
        for (int i = x; i <= 2 * x; ++i) {
            if (i * i == num) return true;
        }
        return false;
    }
};

下面这种方法也比较高效，从1搜索到 sqrt(num)，看有没有平方正好等于 num 的数：

解法二：

class Solution {
public:
    bool isPerfectSquare(int num) {
        for (int i = 1; i <= num / i; ++i) {
            if (i * i == num) return true;
        }
        return false;
    }
};

我们也可以使用二分查找法来做，要查找的数为 mid*mid，参见代码如下：

解法三：

class Solution {
public:
    bool isPerfectSquare(int num) {
        long left = 0, right = num;
        while (left <= right) {
            long mid = left + (right - left) / 2, t = mid * mid;
            if (t == num) return true;
            if (t < num) left = mid + 1;
            else right = mid - 1;
        }
        return false;
    }
};

下面这种方法就是纯数学解法了，利用到了这样一条性质，完全平方数是一系列奇数之和，例如：

1 = 1
4 = 1 + 3
9 = 1 + 3 + 5
16 = 1 + 3 + 5 + 7
25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
36 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11
....
1+3+...+(2n-1) = (2n-1 + 1)n/2 = n*n

这里就不做证明了，我也不会证明，知道了这条性质，就可以利用其来解题了，时间复杂度为 O(sqrt(n))。

解法四：

class Solution {
public:
    bool isPerfectSquare(int num) {
        int i = 1;
        while (num > 0) {
            num -= i;
            i += 2;
        }
        return num == 0;
    }
};

下面这种方法是第一种方法的类似方法，更加精简了，时间复杂度为 O(lgn)：

解法五：

class Solution {
public:
    bool isPerfectSquare(int num) {
        long x = num;
        while (x * x > num) {
            x = (x + num / x) / 2;
        }
        return x * x == num;
    }
};